Application of robust Vondrak filtering method in time-frequency transmission
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摘要: 时间频率传递的结果会受到非模型化误差和观测噪声的影响，其噪声常为高频信号，构建低通滤波器可在一定程度上消除观测值序列中的高频噪声信号. 本文对Vondrak滤波函数的本质进行剖析，通过IGG3算法对钟差序列进行定权并采用频率响应法选择适合的滤波因子；对不同的链路分别进行卫星双向时间频率传递(two-way satellite time and frequency transfer, TWSTFT)、基于软件接收机的卫星双向时间传递(two-way satellite time and frequency transfer based on software defined receiver, SDR-TWSTFT)和短基线共视时间频率传递实验，并对钟差结果采用抗差Vondrak滤波进行平滑去噪. 结果表明：滤波后的钟差序列能够很好地反映原始钟差序列的趋势；平滑后的TWSTFT钟差结果，日波动效应得到了有效的抑制，精度有明显提升；对于共视钟差结果，精度有明显提升，与精密单点定位(precise point positioning，PPP)时间传递结果的差值保持在−1.0~1.0 ns范围内.
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关键词:
- 抗差Vondrak滤波 /
- 平滑因子 /
- 共视时间频率传递 /
- 卫星双向时间频率传递(TWSTFT) /
- 精密单点定位(PPP)
Abstract: The results of time-frequency transfer will be affected by the non-modeling error and observation noise, which is often high-frequency signals, and the construction of low-pass filter can eliminate the high-frequency noise signals in the observation sequence to a certain extent. In this paper, we analyze the nature of the Vondrak filter function, weight the clock difference sequence by the IGG3 algorithm and select the suitable filtering factor by the frequency response method; we conduct the satellite two-way time and frequency transfer experiment (TWSTFT), the satellite two-way time and frequency transfer experiment based on the software receiver (SDR-TWSTFT), and the short-baseline common-view time and frequency transfer experiment on the different links, and use the short-baseline common-sight time and frequency transfer method on the results. experiments, and the clock difference results are smoothed and denoised by anti-differential Vondrak filtering. The results show that: the filtered clock sequence can well reflect the trend of the original clock sequence; the daily fluctuation effect is effectively suppressed and the accuracy of the smoothed TWSTFT clock result is significantly improved; the accuracy of the common-view clock result is significantly improved, and the difference between the result and the precise point positiening (PPP) timing result is kept in the range of −1.0 to 1.0 ns.-
Keywords:
- robust Vondrak filtering /
- smoothing factor /
- common-view time-frequency transfer /
- TWSTFT /
- PPP
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0. 引 言
随着社会的快速发展和科技的进步，人们对时间的准确度以及各地之间的时间同步的精度要求越来越高，迫切需要发展高精度时间频率传递技术以实现不同地点的时间同步. 近年来，随着卫星导航的发展，出现了各种高精度时间传递技术，目前国际上主要采用的几种高精度时间比对技术包括：基于GNSS的卫星单向授时、共视时间频率传递、全视时间频率传递、精密单点定位(precise point positioning, PPP) 时间传递技术和利用地球同步通信卫星的双向时间频率传递(two-way satellite time and frequency transfer, TWSTFT)技术[1].
共视时频传递技术具有设备成本低、操作方便的优点[2]，20世纪80年代，国际权度局将其用于国际标准时间的计算[3]. 而TWSTFT技术利用卫星地面站、租用通信卫星信道实现时间频率传递，可以削弱传播路径上的误差，在精度方面有着极大地提升；中国科学院国家授时中心(National Time Service Centre，NTSC)与德国联邦物理技术研究院(Physikalisch-Technische Bundesanstalt，PTB)开展了第一条基于软件接收机的国际卫星双向时间传递(two-way satellite time and frequency transfer based on software defined receiver，SDR-TWSTFT)链路[4]，相对于TWSTFT链路，精度有较为明显的提升，受日波动效应的影响也得到改善[5].
上述说明，TWSTFT和共视时频传递技术有广泛的应用和较高的精度，但仍有一些因素导致时间频率传递的结果存在不可避免的误差，如：TWSTFT时间比对技术存在日波动效应，即钟差随时间变化存在波动现象[6]. 而基于GNSS的共视时间频率传递，钟差序列会受到非模型化误差和观测噪声的影响[7]，这些误差对时频传递有着不可忽视的影响. 因此，针对上述两种技术存在的不足，国内外研究人员对时间频率传递结果分别采用了多项式拟合、三次差法和卡尔曼滤波等方法进行优化，但实验效果不较理想.
综上，对时间频率传递结果进一步优化降低以上误差造成的影响，具有一定的研究意义，本文采用了抗差Vondrak滤波方法对TWSTFT、SDR-TWSTFT、共视时间频率传递链路钟差结果进行平滑去噪处理，并将共视时频传递钟差结果与PPP 时间传递结果进行比对. 结果表明，抗差Vondrak滤波在时间频率传递中的应用中可以减少钟差序列中的高频噪声并一定程度提升时频传递的精度.
1. 抗差Vondrak滤波原理
1.1 传统Vondrak滤波
在Vondrak滤波中，有两个重要的参数，分别是光滑度和拟合度[8]；光滑度体现了拟合值的光滑程度. 当光滑性过小时，平滑值会偏离原始观测序列，使得平滑值序列与真值的偏离程度增大；拟合度体现了拟合值与原始观测值的偏离程度，当拟合度过小时，拟合值序列会与原始观测值序列几乎重合，这样就达不到拟合平滑的目的，所以要同时满足光滑度和拟合度在一定范围：
$$ S=\sum _{i=1}^{n-z}{\left({\mathrm{\Delta }}^{z}{y}'_{i}\right)}^{2} $$ (1) $$ F=\sum _{i=1}^{n}{{p}_{i}\left({y}_{i}-{y}'_{i}\right)}^{2} $$ (2) $$ Q=F+{\lambda }^{2}S=\sum _{i=1}^{n}{p}_{i}{\left({y}_{i}-{y}'_{i}\right)}^{2}+{\lambda }^{2}\sum _{i=1}^{n-3}{\left({\mathrm{\Delta }}^{3}{y}'_{i}\right)}^{2}={\mathrm{min}} $$ (3) $$ \varepsilon =\frac{1}{{\lambda }^{2}} $$ (4) 式中：S为平滑度；F为拟合度；yi为观测值；
$ {y}'_{i} $ 为滤波值；z为差分阶数；n为观测值的个数；$ {p}_{i} $ 是观测值i对应的权；$ {\lambda }^{2} $ 是无量纲的常数；$ \varepsilon $ 是平滑因子. 在满足式(3)的基本准则下所获得的滤波值满足位于一条相对光滑的曲线上，又与原观测序列具有一定的拟合度.$ \varepsilon $ 在Vondrak滤波中起到拟合和平滑之间的平衡作用.$ \varepsilon $ 越大，滤波曲线与原始数据偏离程度越小，反之，拟合曲线越光滑. 通过选择不同的而平滑因子控制数据平滑的程度，在观测数据的绝对拟合与绝对平滑之间选择一条折中的曲线，保留有用信号，滤除噪声信号. 这种方法对于等间距的观测数据、不等间距的观测数据均适用[9]. 在实际工作中，需要根据本身的需求调整确定$ \varepsilon $ 的值.1.2 抗差Vondrak滤波
在实际处理时间传递频率的数据中，由于存在的粗差会极大地影响滤波结果的精度，这使得钟差序列的权值不能采用等权的方式定权，钟差序列中误差较大的数据定权时需要赋予更小的权，误差较小的值需要赋予相对较大的权值，抗差Vondrak滤波可以很好地解决这个问题，原理是首先通过IGG3迭代法对钟差序列进行定权[10]，然后通过Vondrak滤波对原始钟差序列进行滤波处理.
IGG3迭代算法的原理是方差膨胀模型，即在迭代过程中均值保持不变，方差变化，经过不断地迭代，钟差序列中误差较大的数据对应的权值会越来越小，粗差值对应的权值会不断减小直至为0，IGG3算法步骤为
$$ {k}\left({v}'_{i}\right)=\left\{ \begin{array}{cc}1& {v}'\leqslant {k}_{0}\\ \dfrac{{k}'_{0}}{{v}}*{\left(\dfrac{{k}_{1}-{v'}}{{k}_{1}-{k}_{0}}\right)}^{2}& {k}_{0} < {v}'\leqslant {k}_{1}\\ 0& {v}' > {k}_{1}\end{array}\right. $$ (5) 式中：k为等价权因子；
$ {k}_{0} $ 、$ {k}_{1} $ 为常数，本实验$ {k}_{0} $ 的设为0.8，$ {k}_{1} $ 设为1.2；$ {{v}}'_{i} $ 为标准化残差.$$ {{v}{{'}}}_{\left(i\right)}=\frac{{v}_{i}}{\sigma } $$ (6) 式中：
$ {{v}}_{{i}} $ 是观测值残差；$ {\sigma } $ 是$ {{v}}_{{i}} $ 的中误差，通过等价权因子得到新的权.$$ {P}{{'}}=kP $$ (7) 通过IGG3模型计算得到原始观测值的新权，会随原始观测值误差的增大而减小，粗差观测值权值会变为0，将新的权值带入式(3)中，通过Vondrak滤波对钟差序列进行滤波降噪，可以剔除粗差并降低误差较大的钟差值对滤波序列的影响.
2. 时间频率传递原理
2.1 双向时间频率传递
TWSTFT的实质是：由两个地面站分别向通信卫星发送信号，经过卫星转发后，量测对方台站发射的信号到达本地的时间与本地时间的差值，两地面站将收到对方的信号进行互换相减，可以得到两地之间的钟差[11]. 由于信号路径是对称的，理论上可以很大程度上消除由传播路径引起的误差(包括电离层误差、对流层误差、几何路径改正)，能够得到较高精度的钟差结果，原理如图1所示.
TWSTFT两台站的时间比对关系为：
$$ {{\mathrm{TIC}}}_{\left({\mathrm{A}}\right)}={\rm{TS}}_{\mathrm{A}}-{\rm{TS}}_{\mathrm{B}}+{d}_{T{\mathrm{B}}}+{d}_{{\mathrm{B}}S}+{d}_{S{\mathrm{BA}}}+{d}_{S{\mathrm{A}}}+{d}_{R{\mathrm{A}}}+{S}_{{\mathrm{B}}} $$ (8) $$ {{\mathrm{TIC}}}_{\left({\mathrm{B}}\right)}={\rm{TS}}_{\mathrm{B}}-{\rm{TS}}_{\mathrm{A}}+{d}_{T{\mathrm{A}}}+{d}_{{\mathrm{A}}S}+{d}_{S{\mathrm{AB}}}+{d}_{S{\mathrm{B}}}+{d}_{R{\mathrm{B}}}+{S}_{{\mathrm{A}}} $$ (9) 两地的钟差为
$$ \begin{split} {\rm{TS}}_{\mathrm{A}}-{\rm{TS}}_{\mathrm{B}}=&\frac{1}{2}[{{\mathrm{TIC}}}_{\left({\mathrm{A}}\right)}-{{\mathrm{TIC}}}_{\left({\mathrm{B}}\right)}+\left({d}_{T{\mathrm{A}}}-{d}_{R{\mathrm{A}}}\right)\\&-\left({d}_{T{\mathrm{B}}}-{d}_{R{\mathrm{B}}}\right)+ \left({d}_{{\mathrm{A}}S}-{d}_{S{\mathrm{A}}}\right)-\left({d}_{{\mathrm{B}}S}-{d}_{S{\mathrm{B}}}\right)\\&+\left({d}_{S{\mathrm{AB}}}-{d}_{S{\mathrm{BA}}}\right)+\left({S}_{{\mathrm{A}}}-{S}_{{\mathrm{B}}}\right)] \\[-13pt]\end{split} $$ (10) 式中：
$ {d}_{iS} $ 为信号路径上行链路延迟；$ {d}_{Si} $ 为信号路径下行链路延迟；$ {d}_{S{\mathrm{BA}}}{、d}_{S{\mathrm{BA}}} $ 为经转发器的卫星路径延迟；$ {d}_{Ti} $ 为发射机延迟，包括调制解调器延迟；$ {d}_{Ri} $ 为接收机延迟，包括调制解调器延迟；$ {{\mathrm{TIC}}}_{\left(i\right)} $ 为两地接收机的读数.2.2 共视时间频率传递
共视时间频率传递是基于GNSS卫星进行的时间同步的方法，基本原理是位于两地的2个或2个以上的高精度接收机同时观测同一颗卫星，两地实时或事后交换数据得到两地的钟差[12]，原理如图2所示.
通过计算当前历元测站与卫星的时间之差，两站之间通过数据交换而得到两地之间的钟差，以卫星i为例，A、B两站的观测量有：
$$ c\delta {t}_{{\mathrm{A}}}={\rho }_{{i_{{\mathrm{A}}}}}-{r}_{i_{\mathrm{A}}}+c\delta {t}^{i}-{I}_{{i}_{{\mathrm{A}}}}-{T}_{{i}_{{\mathrm{A}}}}-{\varepsilon }_{{i}_{{\mathrm{A}}}} $$ (11) $$ c\delta {t}_{{\mathrm{B}}}={\rho }_{{i}_{{\mathrm{B}}}}-{r}_{i_{\mathrm{B}}}+c\delta {t}^{i}-{I}_{{i}_{{\mathrm{B}}}}-{T}_{{i}_{{\mathrm{B}}}}-{\varepsilon }_{{i}_{{\mathrm{B}}}} $$ (12) $$ {r}_{i_{\mathrm{A}}}=\sqrt{{\left({x}_{i}-{x}_{{\mathrm{A}}}\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-{y}_{{\mathrm{A}}}\right)}^{2}+{\left({z}_{i}-{z}_{{\mathrm{A}}}\right)}^{2}} $$ (13) $$ {r}_{i_{\mathrm{B}}}=\sqrt{{\left({x}_{i}-{x}_{{\mathrm{B}}}\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-{y}_{{\mathrm{B}}}\right)}^{2}+{\left({z}_{i}-{z}_{{\mathrm{B}}}\right)}^{2}} $$ (14) 其中：c为光速；
$ \delta {t}_{{\mathrm{A}}} $ 、$ \delta {t}_{{\mathrm{B}}} $ 分别为A、B两站接收机相当于卫星i的钟差；$ \delta {t}^{i} $ 为卫星钟差；$ {\rho }_{{i}_{{\mathrm{A}}}} $ 、${\rho }_{{i}_{{\mathrm{B}}}} $ 分别为A、B两站接收机相对于卫星i的伪距值；$ ({x}_{i},{y}_{i},{z}_{i}) $ 为卫星i的坐标；$ ({x}_{{\mathrm{A}}},{y}_{{\mathrm{A}}},{z}_{{\mathrm{A}}}) $ 、$ ({x}_{{\mathrm{B}}},{y}_{{\mathrm{B}}},{z}_{{\mathrm{B}}}) $ 为A、B两地接收机的坐标；$ {I}_{{i}_{{\mathrm{A}}}}\mathrm{、}{T}_{{i}_{{\mathrm{A}}}} $ 和$ {I}_{{i}_{{\mathrm{B}}}}\mathrm{、}{T}_{{i}_{{\mathrm{B}}}} $ 分别为A、B两地观测卫星路径上对应的电离层和对流层延迟；$ {\varepsilon }_{{i}_{{\mathrm{A}}}} $ 和$ {\varepsilon }_{{i}_{{\mathrm{B}}}} $ 为A、B两测站观测过程中的其他误差. A、B两地交换数据就可以得到A、B两地的钟差$$\begin{split} c\left(\delta {t}_{{\mathrm{A}}}-\delta {t}_{{\mathrm{B}}}\right)=&{\rho }_{{i}_{{\mathrm{A}}}}-{\rho }_{{i}_{{\mathrm{B}}}}-\left({r}_{i_{\mathrm{A}}}-{r}_{i_{\mathrm{B}}}\right)-\left({I}_{{i}_{{\mathrm{A}}}}-{I}_{{i}_{{\mathrm{B}}}}\right)\\&-\left({T}_{{i}_{{\mathrm{A}}}}-{T}_{{i}_{{\mathrm{B}}}}\right)-\left({\varepsilon }_{{i}_{{\mathrm{A}}}}-{\varepsilon }_{{i}_{{\mathrm{B}}}}\right) \end{split} $$ (15) 由式(15)可以看出共视时间频率传递可以完全消除卫星钟差
$ \delta {t}^{i} $ ，当两地基线长度较短时，在一定程度上减弱电离层和对流层延迟的影响[13].3. 实验分析
3.1 平滑因子选取
平滑因子的选取是Vondrak滤波中一个非常重要的因素，在实际应用中，根据需求对平滑因子进行调整：在实验中需要剔除观测序列中存在的偶然误差外还要剔除一些短期不稳定因素的影响，则要选取较小的平滑因子，从而增加平滑度[14]；若需要剔除观测序列中误差较大的观测量，平滑因子就可以定义相对更大，从而保证拟合值与原始观测序列不会有较大偏离程度.
本文采用频率响应法选取合适的平滑因子
$\varepsilon $ . 频率响应函数的表达式为[15]$$\alpha=\frac{1}{1+{\varepsilon }^{-1}{\left(2\text{π} f\right)}^{2k}} $$ (16) 式中：
$\alpha $ 为不同频率与不同平滑因子下的频率响应函数；$ \varepsilon $ 为平滑因子；$ f $ 为频率. 其频率响应曲线如图3所示.图3为不同阶次的频率响应曲线，平滑因子取值为1×10−4，横坐标轴周期为频率f的倒数. 可以看出，k值越大(差分的阶数越高)，频率响应函数曲线上升越陡，区分信号的能力越强，滤波效果会越来越好，但是随着差分的阶数越来越高，计算也会越复杂. k的值由2到3，频率响应函数坡度变化较为明显，k的值取3以后频率响应函数曲线的坡度虽然也有变化，但是变化并不明显. 所以，当k=3时，Vondrak滤波器就可以较好地区分高频与低频信号. 为了兼顾平滑与拟合的效果，k值选择3，即三阶差分；图4为Vondrak滤波器的频率响应曲线，将k的值选择为3，可以看出在不同的滤波因子下，区分信号的周期有所不同，在实际工程应用中，应根据实验数据和需求来选择滤波因子，本文中，卫星双向时间频率传递实验平滑因子为1×10−4，共视时间频率传递实验的平滑因子为1×10−5.
3.2 卫星双向时间频率传递
本文双向时间频率传递的实验选取了中国科学院NTSC与中国计量科学研究院(National Institute of Metrology China，NIM)之间的链路，参与基于SDR-TWSTFT的实验室为巴黎天文台(Observatoire de Paris，OP)与PTB，测站分布如图5所示，年积日选取297—304.
对两条链路分别进行TWSTFT实验和SDR-TWSTFT实验，统计两条链路的钟差序列，通过已选择好的Vondrak滤波因子对两条链路的钟差序列进行Vondrak滤波平滑，得到滤波前后的钟差序列如图6~7所示.
从图6~7可以看出，在两条TWSTFT链路中，对原始时间序列进行滤波后的钟差数据为一条较为光滑的曲线，减少了粗差，提高了辨识度；其中，在NIM-NTSC链路中有效改善了TWSTFT中存在的日波动效应，很好地保留了有用的信号，剔除了大部分的粗差观测值.
为了评估TWSTFT经过Vondrak滤波平滑后的效果，将滤波前后的频谱图进行比对，如图8所示.
通过对Vondrak滤波前后频谱图进行对比可以看出，Vondrak滤波消除了大部分的高频噪声信号，滤波前在频率区间内存在0~0.4波动幅度的噪声，滤波后幅度明显降低，同时低频分量特征也表现得更加显著，说明本文方法是可行的. 为进一步说明 Vondrak 滤波方法的有效性，分别统计滤波前后的均方根误差(root mean squared error，RMSE)进行分析，结果如表1所示.
表 1 滤波前后RMSEns 项目 NIM-NTSC链路 OP-PTB链路 滤波前 滤波后 滤波前 滤波后 RMSE 1.95 1.64 0.14 0.09 极大值 79.86 78.47 2.33 2.18 极小值 70.17 72.36 1.60 1.87 极差 9.69 6.11 0.73 0.31 由表1可以看出NIM-NTSC链路经过Vondrak滤波平滑后的钟差序列RMSE由1.95 ns降到了1.64 ns，提升率约为16%，钟差序列的极差由9.69 ns降为6.11 ns，提升率约为37%. OP-PTB链路经过Vondrak滤波平滑后的钟差序列RMSE由0.14 ns降到了0.09 ns，提升率约为35%，钟差序列的极差由0.73 ns降为0.31 ns，提升率约为57%.
不论是受日波动效应影响较为明显的NIM-NTSC链路，还是精度本身就较高的SDR-TWSTFT方式中的OP-PTB链路，在精度方面都有了显著的提高，日波动效应也有了较为明显的改善.
3.3 共视时间频率传递
本文共视时间频率传递的实验，选取了年积日297−304，测站选取位于北京的GT07站和IM02站，两站之间的链路长度为36 km，测站位置如图9所示.
对IM02和GT07测站进行共视时间频率传递，统计两地的钟差序列，将经过抗差Vondrak滤波平滑后的共视时间频率传递钟差序列与PPP时间传递的结果进行比对，并统计滤波后的钟差序列与PPP时间传递结果的残差分布，如图10所示.
由图10(a)可知，经过滤波平滑后的钟差序列剔除了粗差较大的钟差值，并且可以较为正确的表现出钟差序列的变化趋势；由图10(b)可知，经过滤波平滑后的钟差序列与PPP时间传递的钟差序列趋势大致相同；通过图10(c)可以看出，以PPP时间传递的结果为真值，与经过滤波后的共视结果作差，残差值大部分集中在−1.0~1.0 ns范围内. 所以可以认为滤波后的共视钟差序列与PPP时间传递钟差序列趋势大致相同. 为更直观的分析滤波的效果，将滤波前后的平均值、RMSE以及滤波后的钟差序列与PPP时间传递钟差序列的差值进行统计分析，结果如表2所示.
表 2 滤波前后RMSE项目 滤波前/ns 滤波后/ns PPP/ns 提升率/% RMSE 1.59 1.08 0.77 32 极大值 259.57 253.08 251.57 - 极小值 242.55 246.98 248.42 - 极差 17.01 6.10 3.15 64 由表2可以看出通过抗差Vondrak滤波平滑后的GT07-IM02链路共视钟差序列在RMSE和极差方面都有着显著的提升，经过滤波平滑之后钟差序列RMSE由1.59 ns降为1.08 ns提升率为32%，极差由17.01 ns降为6.10 ns，提升率为64%.
4. 结 论
本文进行了TWSTFT、SDR-TWSTFT和共视时频传递在不同链路上的实验，通过改变算法中的平滑因子和权重，采用抗差Vondrak滤波方法对钟差序列进行平滑并对滤波后的数据进行统计分析，结果表明：
1)经Vondrak滤波平滑后的钟差序列，可以较为正确的表现出原始钟差序列的趋势并减少高频噪声信号的影响，剔除误差较大的粗差值，减小钟差序列的误差，提高各种时间频率传递的精度.
2)在TWSTFT和SDR-TWSTFT实验中，经Vondrak滤波处理后的钟差序列可以降低TWSTFT中的存在的日波动现象，提高了钟差结果的精度，RMSE分别由1.95 ns、0.14 ns降为1.64 ns、0.09 ns，提升率分别为16%、35%. 共视时频传递实验滤波后的钟差数据精度可以达到1.08 ns，与PPP时间传递的结果比对的结果差值大部分集中在−1.0~1.0 ns.
3)抗差Vondrak滤波在TWSTFT、SDR-TWSTFT、共视时间频率传递中有着较好地效果，但本文对于PPP时间传递及其他时间传递技术并没有进行深入研究，后续会对抗差Vondrak滤波方法在其他时间传递技术中的应用研究进行探讨.
致谢：感谢中国科学院国家授时中心提供的数据.
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表 1 滤波前后RMSE
ns 项目 NIM-NTSC链路 OP-PTB链路 滤波前 滤波后 滤波前 滤波后 RMSE 1.95 1.64 0.14 0.09 极大值 79.86 78.47 2.33 2.18 极小值 70.17 72.36 1.60 1.87 极差 9.69 6.11 0.73 0.31 
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表 2 滤波前后RMSE
项目 滤波前/ns 滤波后/ns PPP/ns 提升率/% RMSE 1.59 1.08 0.77 32 极大值 259.57 253.08 251.57 - 极小值 242.55 246.98 248.42 - 极差 17.01 6.10 3.15 64
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