Fractional cycle bias estimation and ambiguity resolution for Galileo triple-frequency uncombined PPP
-
摘要: 欧洲的Galileo目前已经有28颗在轨可用卫星，具备全球精密定位能力，并且所有卫星均能够播发多频信号，多频信号融合有望进一步改善精密单点定位(precise point positioning，PPP)模糊度固定解性能. 本文研究了Galileo三频非组合PPP相位小数偏差(fractional cycle bias，FCB)估计与模糊度解算(ambiguity resolution，AR)方法，并将其结果同双频非组合PPP模糊度固定解与浮点解结果进行了对比分析. 结果表明：利用155个全球分布的地面跟踪站数据进行FCB估计，单个频率上的FCB估值序列标准差(standard deviation，STD)优于0.04周；双频PPP浮点解在E、N、U方向收敛时间分别为32.0 min、10.0 min、43.5 min，双频PPP固定解收敛时间分别减少到30.5 min、8.5 min、32.0 min，三频PPP固定解收敛时间分别进一步缩短到16.5 min、8.0 min、32.0 min.
-
关键词:
- 相位小数偏差(FCB) /
- 模糊度解算(AR) /
- 精密单点定位(PPP) /
- 三频信号 /
- Galileo
Abstract: Galileo already has 28 in-orbit satellites, with precise positioning capabilities on a global scale. All Galileo satellites are capable of broadcasting multi-frequency signals, and multi-frequency integration is expected to further improve the performance of precise point positioning (PPP) ambiguity-fixed solutions. In this paper, the fractional cycle bias (FCB) estimation method and ambiguity resolution (AR) method for Galileo triple-frequency uncombined (UC) PPP are developed, and the derived results are compared with those of dual-frequency UC PPP ambiguity-fixed and ambiguity-float solutions. The results indicate that the standard deviation (STD) of UC FCB series on a single frequency is better than 0.04 cycles using datasets from 155 globally distributed ground tracking stations. The convergence time of Galileo dual-frequency PPP float solutions in the east, north and up directions is 32.0 min, 10.0 min and 43.5 min, respectively, and the corresponding statistic of dual-frequency PPP fixed solutions is reduced to 30.5 min, 8.5 min and 32.0 min in the three directions, respectively. The convergence time of triple-frequency PPP fixed solutions is further shortened to 16.5 min, 8.0 min and 32.0 min in the three directions, respectively. -
0. 引 言
精密单点定位(precise point positioning，PPP)是一种基于单台GNSS接收机的载波相位和伪距观测值，采用卫星轨道、钟差等高精度产品，通过观测值组合、模型改正、参数估计等方法削弱信号传播路径、卫星端、接收机端误差，从而实现高精度定位的一种技术[1-2]. PPP无需架设地面基准站，不受作业距离限制，具有成本低、数据处理简单等优点，并且可以直接获得同国际地球参考框架(International Terrestrial Reference Frame，ITRF)相一致的高精度测站坐标，兼具标准单点定位和相对定位的优点，因而PPP已成为卫星导航定位技术领域的热点研究方向之一. 随着美国的GPS、俄罗斯的GLONASS、欧洲的Galileo和中国北斗卫星导航系统(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)四大GNSS的蓬勃发展，在轨的GNSS导航卫星数目越来越多，播发的导航信号种类与频率也愈加丰富，为PPP技术的研究与应用注入了新的活力. 多星座观测条件下，由于观测卫星数目显著增加，卫星几何构型增强，观测冗余度更高，能够提升PPP的可靠性，而多频融合能够充分利用观测值，增加观测冗余度，多频多星座GNSS融合处理能够较大地改善定位精度和收敛速度，推动PPP技术向更准确、更快速的方向发展.
目前PPP技术已经提出二十余年，相关的PPP理论、方法、技术、应用都已经积累了相当多的经验，取得了长足的进步，正在逐步走向成熟. 传统的PPP浮点解技术无法通过双差消除相位小数偏差(fractional cycle bias，FCB)，因此模糊度表现为浮点值，限制了PPP精度的进一步提升. 高精度FCB估值可以恢复用户端模糊度的整数特性，从而实现PPP模糊度固定解，提高PPP的收敛速度和精度，是目前PPP技术的重要发展方向. 最早在1999年，Gabor等[3]尝试通过星间单差消除接收机端的FCB，虽然成功估计出卫星端宽巷FCB，但是受限于当时国际GNSS服务(International GNSS Service，IGS)产品的精度，没能成功固定窄巷模糊度. Ge等[4]在2008年使用全球100个测站观测数据成功估计了星间单差FCB，并成功实现模糊度固定，发现模糊度固定可以有效改善小时解的定位精度，此方法被称为FCB分离法. 法国国家太空研究中心的Laurichesse等[5]通过固定宽巷和窄巷模糊度为整数，将卫星端的FCB和卫星钟差参数合并为一个参数进行估计，由此得到的卫星钟称之为“整数钟”，用户端基于“整数钟”产品即可获得模糊度固定的位置解，此方法被称为整数钟法. Collins 等[6]提出了钟差去耦模型，通过分别估计伪距和载波相位的卫星钟来恢复非差模糊度的整数特性，也成功固定了非差整周模糊度.
当前Galileo已经具备28颗在轨可用卫星，能够独立提供定位、导航和授时(positioning，navigating，timing，PNT)服务. 所有Galileo卫星(除E20)均能播发多频信号，这为多频模糊度固定研究打下了坚实的基础. 相比于双频模糊度解算(ambiguity resolution，AR)，多频AR在模糊度固定成功率与可靠性方面有着显著的优势. 为了利用多频观测值，研究人员提出了基于消电离层组合和非组合模型的多种三频PPP模型[7-9]. Geng等[10]基于仿真数据提出了一种引入L2/L5超宽巷组合达成GPS三频模糊度固定的方法，实现了PPP的快速收敛，结果显示三频窄巷固定成功率在65 s内能够达到99%，而在双频中150 s内固定率也只有64%. Gu等[11]研究了仅固定超宽巷和宽巷模糊度的北斗二号(BeiDou-2 Navigation Satellite System，BDS-2)三频PPP. Li等[12]在静态和动态模式下实现了单BDS、单Galileo、BDS+Galileo双系统组合下的三频PPP模糊度固定，结果显示，三频PPP AR方案在首次固定时间和定位精度方面的性能均优于双频PPP AR方案，这些优势在单Galileo方案和BDS+Galileo方案中尤为明显. 以往的研究已经证明多频AR有利于提高PPP收敛速度与定位精度，但当前关于多频PPP AR的研究仍然有限，多频融合对于提高PPP在实际应用中的可靠性与精度值得进一步探索. 为此，本文研究了Galileo三频非组合PPP FCB精密估计与快速AR方法，并同双频非组合PPP模糊度固定解与浮点解结果进行了对比分析.
1. FCB估计与AR方法
单个频率上的Galileo伪距和相位观测值可以表示为
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} P_{r,n}^s = \rho _r^s + c{\mathrm{d}}{t_r} - c{\mathrm{d}}{t^s} + {\gamma _n} \cdot I_{r,1}^s + T_r^s \\ \quad \quad \, + {b_{r,n}} + b_n^s + \varepsilon _{r,n}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} L_{r,n}^s = \rho _r^s + c{\mathrm{d}}{t_r} - c{\mathrm{d}}{t^s} - {\gamma _n} \cdot I_{r,1}^s + T_r^s \\ \quad \quad \, + {\lambda _n} \cdot ({B_{r,n}} + B_n^s) + {\lambda _n} \cdot N_{r,n}^s + \xi _{r,n}^s \\ \end{gathered} \end{array}} \right. $$ (1) 式中：
$ s $ 为Galileo卫星；$ r $ 为接收机；$ n\,(n = 1,2,3) $ 为一个频率；$ P_{r,n}^s $ 和$ L_{r,n}^s $ 分别为伪距和载波相位观测值；$ \rho _r^s $ 为接收机同卫星之间的几何距离；$ c{\mathrm{d}}t_r^{} $ 和$ c{\mathrm{d}}{t^s} $ 分别为接收机钟差和卫星钟差；$ I_{r,1}^s $ 为E1频率的斜路径电离层延迟；$ {\gamma _n} $ 为电离层延迟因子($ {\gamma _n} = {{f_1^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{f_1^2} {f_n^2}}} \right. } {f_n^2}} $ )；$ {f_n} $ 为载波频率；$ T_r^s $ 为斜路径对流层延迟；$ {\lambda _n} $ 为波长；$ {b_{r,n}} $ 和$ b_n^s $ 分别为接收机端和卫星端的伪距硬件延迟；$ {B_{r,n}} $ 和$ B_n^s $ 分别为载波相关的接收机端和卫星端硬件延迟；$ N_{r,n}^s $ 为整周相位模糊度；$ \varepsilon _{r,n}^s $ 和$ \xi _{r,n}^s $ 分别为包含多路径误差的伪距和相位测量噪声.应用精密卫星轨道、精密卫星钟差、差分码偏差等产品，并采用先验模型改正对流层延迟干分量后，Galileo E1/E5a/E5b三频非组合PPP线性化后的观测模型可以表示如下：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} p_{r,1}^s = {\boldsymbol{g}}_r^s \cdot {x_r} + c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} + m_r^s \cdot {Z_{w,r}} \\ \quad \quad \, + I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s + \varepsilon _{r,1}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} p_{r,2}^s = {\boldsymbol{g}}_r^s \cdot {x_r} + c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} + m_r^s \cdot {Z_{w,r}} \\ \quad \quad \, + {\gamma _2} \cdot I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s + \varepsilon _{r,2}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} p_{r,3}^s = {\boldsymbol{g}}_r^s \cdot {x_r} + c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} + m_r^s \cdot {Z_{w,r}} \\ \quad \quad \, + {\gamma _3} \cdot I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s + {g_{{\mathrm{UC}}3,r}} + \varepsilon _{r,3}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} l_{r,1}^s = {\boldsymbol{g}}_r^s \cdot {x_r} + c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} + m_r^s \cdot {Z_{w,r}} \\ \quad \quad \, - I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s + {\lambda _1} \cdot {\bar{N}} _{r,1}^s + \xi _{r,1}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} l_{r,2}^s = {\boldsymbol{g}}_r^s \cdot {x_r} + c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} + m_r^s \cdot {Z_{w,r}} \\ \quad \quad \, - {\gamma _2} \cdot I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s + {\lambda _2} \cdot {\bar{N}} _{r,2}^s + \xi _{r,2}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} l_{r,3}^s = {\boldsymbol{g}}_r^s \cdot {x_r} + c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} + m_r^s \cdot {Z_{w,r}} \\ \quad \quad \, - {\gamma _3} \cdot I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s + {\lambda _3} \cdot {\bar{N}} _{r,3}^s + \xi _{r,3}^s \\ \end{gathered} \end{array}} \right. $$ (2) $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} = c{\mathrm{d}}{t_r} + {a_{12,1}} \cdot {b_{r,1}} + {a_{12,2}} \cdot {b_{r,2}}} \\ {I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s = I_{r,1}^s - {a_{12,2}} \cdot ({b_{r,2}} - {b_{r,1}})} \\ \begin{gathered} {g_{{\mathrm{UC}}3,r}} = ( - {\gamma _3} \cdot {a_{12,2}} - {a_{12,1}}) \cdot {b_{r,1}} \\ \quad \quad \,\quad - {a_{12,2}} \cdot (1 - {\gamma _3}) \cdot {b_{r,2}} + {b_{r,3}} \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} \bar{N} _{r,1}^s = N_{r,1}^s + {B_{r,1}} + B_1^s + [ - b_1^s - ({a_{12,1}} \\ \quad \quad \;\; - {a_{12,2}}) \cdot {b_{r,1}} - 2 \cdot {a_{12,2}} \cdot {b_{r,2}}]/{\lambda _1} \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} \bar{N} _{r,2}^s = N_{r,2}^s + {B_{r,2}} + B_2^s + [ - b_2^s - ({a_{12,1}} \\ \quad \quad \;\; - {\gamma _2} \cdot {a_{12,2}}) \cdot {b_{r,1}} - {a_{12,2}} \cdot (1 + {\gamma _2}) \cdot {b_{r,2}}]/{\lambda _2} \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} \bar{N} _{r,3}^s = N_{r,3}^s + {B_{r,3}} + B_3^s + [ - b_3^s - ({a_{12,1}} \\ \quad \quad \;\; - {\gamma _3} \cdot {a_{12,2}}) \cdot {b_{r,1}} - {a_{12,2}} \cdot (1 + {\gamma _3}) \cdot {b_{r,2}}]/{\lambda _3} \\ \end{gathered} \end{array}} \right. $$ (3) $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{12,1}} = f_1^2/(f_1^2 - f_2^2)} \\ {{a_{12,2}} = - f_2^2/(f_1^2 - f_2^2)} \end{array}} \right. $$ (4) 式中：
$ p_{r,n}^s $ 和$ l_{r,n}^s $ 分别为伪距和载波相位观测量(观测值减去计算值)；$ {\boldsymbol{g}}_r^s $ 为视线方向单位向量；$ {x_r} $ 为接收机三维坐标；$ c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}} $ 为吸收了接收机端无电离层组合伪距硬件延迟的接收机钟差估值；$ m_r^s $ 为湿对流层延迟的映射函数；$ {Z_{w,r}} $ 为天顶对流层湿延迟；$ I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s $ 为斜路径电离层延迟估值(吸收了接收机端伪距硬件延迟)；$ {g_{{\mathrm{UC}}3,r}} $ 为频间偏差(inter-frequency bias，IFB)参数(由于接收机钟差和电离层延迟参数在三频模式下不能完全吸收接收机端伪距硬件延迟)；$ \overline N _{r,n}^s $ 为三频非组合模型下的浮点模糊度估值(吸收了接收机端和卫星端伪距与相位硬件延迟).单站Galileo三频非组合PPP浮点解对应的待估参数包括接收机三维坐标、接收机钟差、天顶对流层湿延迟、IFB、斜路径电离层延迟、三个频率浮点相位模糊度，可以表示为
$$ \begin{gathered} {\boldsymbol{S}} = [{x_r},c{\mathrm{d}}{t_{r,{\mathrm{IF}}12}},{Z_{w,r}},{g_{{\mathrm{UC}}3,r}},I_{r,{\mathrm{UC}}123}^s, \\ \quad \;\;{\bar{N}} _{r,1}^s,{\bar{N}} _{r,2}^s,{\bar{N}} _{r,3}^s] \\ \end{gathered} $$ (5) 式中，
$ {\boldsymbol{S}} $ 表示估值向量.在Galileo三频非组合PPP中，三频相位模糊度间以及和电离层参数之间存在着高度相关性，这会降低FCB估值的精度和可靠性. 为削弱这些负面影响，可以在三频原始模糊度间构造线性组合. 一般来说，组合后模糊度对应的相位观测值，其波长相对较长，并较少受到电离层延迟误差的影响. 线性组合模糊度可以表示为
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} {\bar{N}}_{r,{\mathrm{COM}}1}^s = {q_1} \cdot {\bar{N}} _{r,1}^s + {y_1} \cdot {\bar{N}} _{r,2}^s + {z_1} \cdot {\bar{N}} _{r,3}^s \\ \quad \quad \quad \, = N_{r,{\mathrm{COM}}1}^s + R_{r,{\mathrm{COM}}1}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} {\bar{N}}_{r,{\mathrm{COM}}2}^s = {q_2} \cdot {\bar{N}} _{r,1}^s + {y_2} \cdot {\bar{N}} _{r,2}^s + {z_2} \cdot {\bar{N}} _{r,3}^s \\ \quad \quad \quad \, = N_{r,{\mathrm{COM}}2}^s + R_{r,{\mathrm{COM}}2}^s \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} {\bar{N}}_{r,{\mathrm{COM}}3}^s = {q_3} \cdot {\bar{N}} _{r,1}^s + {y_3} \cdot {\bar{N}} _{r,2}^s + {z_3} \cdot {\bar{N}} _{r,3}^s \\ \quad \quad \quad \, = N_{r,{\mathrm{COM}}3}^s + R_{r,{\mathrm{COM}}3}^s \\ \end{gathered} \end{array}} \right. $$ (6) 式中：
$ {\bar{N}}_{r,{\mathrm{COM}}n}^s $ 为线性组合的浮点相位模糊度估值；$ N_{r,{\mathrm{COM}}n}^s $ 为整周部分；$ R_{r,{\mathrm{COM}}n}^s $ 为小数部分(包含线性组合的接收机端和卫星端FCB)；$ {q_n} $ 、$ {y_n} $ 、$ {z_n} $ 为线性组合系数.由于线性组合模糊度波长较长，可以通过直接取整的方式分离得到
$ R_{r,{\mathrm{COM}}n}^s $ ，之后可利用地面跟踪网多个测站$ R_{r,{\mathrm{COM}}n}^s $ 估值，通过最小二乘平差方法，并引入某颗卫星线性组合FCB值为0这一基准，估计得到所有卫星线性组合的FCB. 在得到三个线性组合所有卫星的FCB估值后，通过如下线性变换得到所有卫星三个频率上的非组合FCB估值，即$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u_1^s} \\ {u_2^s} \\ {u_3^s} \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}}&{{y_1}}&{{z_1}} \\ {{q_2}}&{{y_2}}&{{z_2}} \\ {{q_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right]^{ - 1}} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{{\mathrm{COM}}1}^s} \\ {u_{{\mathrm{COM}}2}^s} \\ {u_{{\mathrm{COM}}3}^s} \end{array}} \right] $$ (7) 式中：
$u_{{\mathrm{COM}}n}^s$ 为卫星端线性组合的FCB估值；$u_n^s$ 为卫星端单个频率上非组合FCB估值.在用户端PPP AR中，为提高模糊度固定的成功率和可靠性，首先利用三频原始模糊度估值构造超宽巷模糊度估值，利用非组合FCB估值获取超宽巷模糊度对应的FCB改正值，恢复模糊度整数特性后采用直接取整的方法固定模糊度，固定成功的超宽巷模糊度作为虚拟观测值引入到观测模型中辅助后续模糊度解算；然后利用三频原始模糊度估值构造宽巷模糊度估值，其模糊度解算流程和超宽巷模糊度类似；最后，尝试固定E1频率上的窄巷模糊度估值，利用FCB估值恢复模糊度整数特性后，由于其波长较短，采用最小二乘模糊度降相关平差(Least-squares AMBiguity decorrelation adjustment ，LAMBDA)方法进行窄巷AR，在全部模糊度固定不成功情况下，采用部分模糊度固定方法[13]，模糊度固定成功后同样作为虚拟观测值引入到观测模型中增强接收机位置解算.
传统多频FCB估计方法多基于消电离层组合，估计得到的FCB产品应用时受到PPP数学模型限制，多频PPP AR只能采用和多频FCB估计相一致的模型. 相比之下，本文三频非组合FCB估计方法具有很好的灵活性，不仅能够适用于三频非组合PPP AR，还能够向下兼容任意双频非组合PPP AR. 此外，三频非组合PPP AR还可以进一步引入先验电离层延迟增强信息.
2. 结果与分析
为确保FCB估值的精度和可靠性，选取全球分布的155个多GNSS实验(Multi-GNSS Experiment，MGEX)跟踪站2021年11月8日的数据进行FCB估计，所有测站均支持Galileo E1、E5a、E5b三频信号，观测值采样间隔为30 s，截止高度角设为7.5°，精密星历采用由欧洲航天局(European Space Agency，ESA)生成的产品. 图1给出了155个MGEX测站的地理分布.
图2展示了2021年11月8日一整天的E5a−E5b超宽巷、E1−E5a宽巷、4×E1−3×E5a窄巷FCB估值序列(每15 min一组估值)，图中不同的颜色代表不同的卫星. 由图2可知，超宽巷、宽巷、窄巷组合FCB估值序列取值范围为±0.5周，且单颗卫星FCB序列非常稳定，一天内的标准差(standard deviation，STD)统计值均为0.01周. 根据式(7)，将超宽巷、宽巷、窄巷组合FCB转换至原始频点的FCB序列，结果如图3所示. 可见，各颗Galileo卫星在E1、E5a、E5b频率对应的非组合FCB估值序列也比较稳定，一天内的STD统计值分别为0.03周、0.04周、0.04周，证明了本文FCB估计方法的可靠性和有效性.
为了评估用户端三频PPP模糊度固定解性能，选取全球分布的35个MGEX站2021年11月8日观测数据进行用户端定位验证. 图4给出了35个MGEX站的地理分布.
为了进行对比分析，图5 同时给出了ARHT站双频PPP浮点解、双频PPP固定解、三频PPP固定解前1 h定位误差序列，图6给出了BRUX站相应结果. 数据解算采用静态模式，接收机位置估计为常数. 由图5和图6可知，在双频处理中，模糊度固定成功后，位置解收敛速度大幅提高，而引入三频数据后收敛时间进一步缩短.
图7进一步给出了三种PPP方案前1 h定位精度序列，每个历元定位精度指的是所有测站相同历元定位误差的均方根(root mean square，RMS)统计值. 当定位精度优于10 cm时，可认为位置解收敛. 双频PPP浮点解在E、N、U方向收敛时间分别为32.0 min、10.0 min、43.5 min，双频PPP固定解收敛时间分别减少到30.5 min、8.5 min、32.0 min，三频PPP固定解收敛时间进一步缩短到16.5 min、8.0 min、32.0 min. 在1 h定位精度方面，三频固定解最优，双频固定解次之，双频浮点解最差，三频固定解在E、N、U三个方向定位精度分别为5.4 cm、3.3 cm、7.7 cm，相比于双频浮点解精度改善率为9%、26%、21%，相比于双频固定解精度改善率为13%、0%、15%. 在24 h定位精度方面，三种方案在同一水平，三个方向定位精度分别为4 mm、3 mm、13 mm.
3. 结束语
模糊度解算可以充分利用载波相位的整数特性，提高短时间内PPP定位性能，而多频融合可以构建更多具有优良性质的超宽巷、宽巷模糊度，提高模糊度固定的成功率和可靠性. 本文发展了Galileo三频非组合PPP FCB精密估计与快速AR方法，其最大特点是直接利用各频率上原始浮点模糊度估值进行处理，可以削弱伪距测量噪声和多路径误差的影响. 实验结果表明，利用全球分布的155个MGEX测站提供的Galileo观测数据进行FCB估计，E1、E5a、E5b非组合FCB估值序列的STD统计值优于0.04周. 三频PPP固定解在E、N、U方向收敛时间为16.5 min、8.0 min、32.0 min，1 h定位精度三个方向分别为5.4 cm、3.3 cm、7.7 cm，显著优于双频浮点解与固定解，但在24 h定位精度方面，三种方案在同一水平，三个方向定位精度分别为4 mm、3 mm、13 mm.
-
[1] ZUMBERGE J F, HEFLIN M B, JEFFERSON D C, et al. Precise point positioning for the efficient and robust analysis of GPS data from large networks[J]. Journal of geophysical research: solid earth, 1997, 102(B3): 5005-5017. DOI: 10.1029/96JB03860
[2] HÉROUX P, KOUBA J. GPS precise point positioning using IGS orbit products[J]. Physics and chemistry of the earth, part A: solid earth and geodesy, 2001, 26(6-8): 573-578. DOI: 10.1016/S1464-1895(01)00103-X
[3] GABOR M J, NEREM R S. GPS carrier phase ambiguity resolution using satellite-satellite single differences[C]// The 12th International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GPS 1999), 1999: 1569-1578.
[4] GE M, GENDT G, ROTHACHER M, et al. Resolution of GPS carrier-phase ambiguities in precise point positioning (PPP) with daily observations[J]. Journal of geodesy, 2008, 82(7): 389-399. DOI: 10.1007/s00190-007-0187-4
[5] LAURICHESSE D, MERCIER F, BERTHIAS J-P, et al. Integer ambiguity resolution on undifferenced GPS phase measurements and its application to PPP[C]//The 20th International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GNSS 2007), 2007: 839-848. DOI: 10.1002/j.2161-4296.2009.tb01750.x
[6] COLLINS P, BISNATH S, LAHAYE F, et al. Undifferenced GPS ambiguity resolution using the decoupled clock model and ambiguity datum fixing[J]. Navigation-journal of the institute of navigation, 2010, 57(2): 123-135. DOI: 10.1002/j.2161-4296.2010.tb01772.x
[7] HENKEL P, GUNTHER C. Precise point positioning with multiple Galileo frequencies[C]//2008 IEEE/ION Position, Location and Navigation Symposium, 2008. DOI: 10.1109/PLANS.2008.4570102
[8] DEO M, EL-MOWAFY A. Triple-frequency GNSS models for PPP with float ambiguity estimation: performance comparison using GPS[J]. Survey review, 2016, 50(360): 249-261. DOI: 10.1080/00396265.2016.1263179
[9] GE Y L, CAO X Y, SHEN F, et al. BDS-3/Galileo time and frequency transfer with quad-frequency precise point positioning[J]. Remote sensing, 2021, 13(14): 2704. DOI: 10.3390/rs13142704
[10] GENG J, BOCK Y. Triple-frequency GPS precise point positioning with rapid ambiguity resolution[J]. Journal of geodesy, 2013, 87(5): 449-460. DOI: 10.1007/s00190-013-0619-2
[11] GU S F, LOU Y D, SHI C, et al. BeiDou phase bias estimation and its application in precise point positioning with triple-frequency observable[J]. Journal of geodesy, 2015, 89(10): 979-992. DOI: 10.1007/s00190-015-0827-z
[12] LI X X, LI X, LIU G G, et al. Triple-frequency PPP ambiguity resolution with multi-constellation GNSS: BDS and Galileo[J]. Journal of geodesy, 2019, 93(8): 1105-1122. DOI: 10.1007/s00190-019-01229-x
[13] LI P, ZHANG X H. Precise point positioning with partial ambiguity fixing[J]. Sensors, 2015, 15(6): 13627-13643. DOI: 10.3390/s150613627
-
期刊类型引用(1)
1. 李伟，白天阳，陈向东，冷宏宇，李开元. 北斗三频非组合精密单点定位频间钟偏差改正比较分析. 全球定位系统. 2025(01): 60-68 . 
本站查看
其他类型引用(0)
下载:
计量
- 文章访问数: 154
- HTML全文浏览量: 102
- PDF下载量: 52
- 被引次数: 1
