Signal quantization loss analysis based on automatic gain control
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摘要: 在卫星信号接收的过程中，量化是模数转换的重要环节，信号量化会带来能量损失，对于信号后续的处理产生影响，根据信号特性选取合适的量化位数和系统基准功率可以有效改善这种损失. 本文采用量化前后信号信噪比(signal to noise ratio，SNR)对比的形式来直观表示量化损耗，并给出了一般性分析公式. 说明了自动增益控制(automatic gain control，AGC)模块在信号量化中的作用，结合量化损耗公式，通过确定最佳增益系数给出了一种基准功率的选取方式，使得不同SNR的信号量化损耗明显降低. 仿真结果表明：在低位量化时，该方式对卫星导航信号的量化损耗能改善约1.5 dB. 该分析对于接收机的设计以及工程实现具有一定的参考意义.Abstract: Quantization is an important part of analog-to-digital conversion in satellite signal reception. Signal quantization brings energy loss, which affects the subsequent signal processing. It can effectively improve this loss on choosing appropriate quantization bits and system reference power according to signal characteristics. The quantization loss is visually expressed in the form of signal-to-noise ratio comparison, and a general analysis formula is introduced. The function of automatic gain control (AGC) module in signal quantization is explained. Combined with quantization loss formula, a selection method of reference power is explained by determining the best gain coefficient, which makes the quantization loss of signals with different signal-to-noise ratios obviously reduced. Simulation results show that this method can improve the quantization loss of satellite navigation signals by about 1.5 dB when quantizing low bits. It has certain reference significance for the design and engineering implementation of the receiver.
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Keywords:
- quantification /
- gain control /
- signal-to-noise ratio /
- A/D conversion /
- reference power /
- receiver
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0. 引 言
在接收机处理信号的过程中，首先要对接收到的信号进行量化，这是信号进行模数转换的重要环节，信号量化过程中被离散化，不可避免的会出现量化损耗，较大的量化损耗对于信号的后续处理会产生影响[1]，也制约着接收机的性能. 尤其对于卫星导航信号而言，由于卫星距离地面较远，地面站接收到的信号十分微弱，一般只能达到约–20 dB[2-3]，且干扰较大，因此需要在量化过程中根据信号特性合理选择量化位数以减小损耗，同时也要考虑硬件性能，在自动增益控制模块中选择合适的基准功率，以便对信号功率进行合适的缩放使得量化损耗达到最小，更好的应对复杂环境. 文献[4-7]分析了限幅效应对量化损耗的影响，文献[8-9]分析了量化位数对于GPS接收机性能的影响，以上文献没有在信噪比(signal to noise ratio，SNR)较小的情况下考虑信号量化会带来的影响，另外关于自动增益控制在量化过程中的说明较少，缺乏相关分析. 本文将针对以上问题进行具体分析，并通过理论推导与实际仿真对比来验证结论的正确性.
1. 接收机量化模型
图1给出了目前商用卫星导航接收机的量化模型，假设接收机接收到的信号为S(n)
$$ S{\text{(}}n{\text{)}} = y{\text{(}}n{\text{)}} + r{\text{(}}n{\text{)}} $$ (1) 式中：y(n)为有用信号部分，
$y{\text{(}}n{\text{)}} = Ac{\text{(}}n{\text{)}}$ ，其中c(n)为卫星的PRN码，其值为±1，A为信号幅度；$r{\text{(}}n{\text{)}}$ 为服从高斯分布的白噪声（white noise，WN）信号.接收信号经混频后分为两路信号进行后续信号处理[10]，如图1所示.
图1中SB(n)为量化后的信号，在不考虑噪声相关性影响的前提下，可以令1位量化的间隔为1，这并不会对最终量化损耗的计算带来影响，此时信号S(n)经过1位量化后的值为{–1，1}，可以分别计算出量化两个值的概率.
$$ {P_1} = P{(}S{[}n{]} > 0{)} = Q\left(- \frac{{y{[}n{]}}}{\sigma }\right) $$ (2) $$ {P_{ - 1}} = P{(}S{[}n{]} < 0{)} = Q\left(\frac{{y{[}n{]}}}{\sigma }\right) $$ (3) 式中：
$\sigma $ 为WN的标准差；Q函数为标准正态分布的互补累计分布函数，表示为$$ Q{(}x) = \frac{1}{{\sqrt {2 {\text{π}} } }}\int_x^{ + \infty } {{{\rm{exp}}}\left( - \frac{{{t^2}}}{2}\right)} {{\rm{d}}}{t = }\frac{1}{2}{{\rm{erfc}}}\left(\frac{x}{{\sqrt 2 }}\right) $$ (4) 式中，erfc函数为高斯误差函数.
为了便于估计量化前后的SNR损失，在下文计算中我们考虑量化后经过相关的结果，由于PRN码的取值为±1，所以相关结果的SNR与量化器输出的SNR相同[11]. 设PRN码的长度为
$N$ ，可以计算量化前的SNR为$$ R_{\rm{SN}1}=\frac{E^2[S\text{(}n\text{)}]}{V_{\rm{ar}}[S\text{(}n\text{)}]}^{\left[12\right]} $$ (5) 式中：
$ {\mathit{E}}[S{\text{(}}n{\text{)}}] $ 为量化前信号期望；$ V_{\mathrm{ar}}[S\text{(}n\text{)}] $ 为量化前信号的方差.对于量化前信号的期望有
$$ \begin{split} {{{E}}[}S(n){] }=& \frac{A}{N}\sum\limits_{N - 1}^{n = 0} {{c^2}{[}n - {\tau _0}{]}} { {\rm{cos}}(2 \text{π} }{F_{S}}n + {\phi _0}{) {\rm{cos}}(2\text{π} }{F_{S}}n{)} \\ =& \frac{A}{2}{{\rm{cos}}(}{\phi _0}{)} \\[-13pt]\end{split} $$ (6) 式中：A为信号幅度；
${F_{{{S}}}}$ 为信号本身的频率；$\tau $ 为码延迟；${\phi _0}$ 为随机相位；c(n)为卫星的PRN码.对于量化前信号的方差有
$$ \begin{split}{V}_{\text{ar}}\text{[}S\text{(}n\text{)}\text{]}&={V}_{\text{ar}}\left[\frac{1}{N}\sum _{N-1}^{n=0}r\text{(}n\text{)}c\text{(}n-\text{τ}\text{)}\text{cos}\left(2\text{π}{F}_{\text{D}}n\right)\right]\\& =\frac{1}{{N}^{2}}{\displaystyle \sum _{N-1}^{n=0}\frac{{\sigma }^{2}}{2}=\frac{{\sigma }^{2}}{2N}}\end{split} $$ (7) 式中，
${{F}_{\rm{D}}}$ 为信号传输过程中产生的多普勒频移. 由式(6)和式(7)可以得到量化前信号的SNR$ {R_{{{\rm{SN}}}}}_1 $ 为：$$ R_{\rm{SN}1}=\frac{E^2[S({n})]}{V_{\mathrm{ar}}[S(n)]}=\frac{A^2N}{\sigma^2} $$ (8) 量化后信号的期望与方差分别为：
$$ \begin{split} {{{E}}\{ }{S_{{B}}}{[}n{]\} } =& {{{E}}}\left\{ {\frac{1}{N}\sum\limits_{N - 1}^{n = 0} {{r_{{B}}}{[}n{]}c{[}n{]}} {{\rm{cos}}}{\text{(}}2{\text{π }}{F_{\text{D}}}n{\text{)}}} \right\} \\ =& \sqrt {\frac{2}{\text{π} }} \frac{A}{{2N\sigma }}\sum\limits_{N - 1}^{n = 0} {c{{{[}n{]}}^2} = \sqrt {\frac{2}{\text{π}}} \frac{A}{{2\sigma }}} \end{split} $$ (9) $$ \begin{split} {V_{{{\rm{ar}}}}}{\{ }{S_{{B}}}{[}n{]\} } &= \left\{ {\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{r_{{B}}}{[}n{]}c{[}n{]{\rm{cos}}}{\text{(}}2\text{π} {F_{{\rm{D}}}}n{\text{)}}} } \right\} \\ &= \frac{1}{{2N}} \end{split} $$ (10) 同理，量化后信号的SNR可以表示为
$$ R_{\rm{SN}2}=\frac{\mathit{\rm{\mathit{E}}}^2[S_{\mathrm{\mathit{B}}}(n)]}{V_{\rm{ar}}[S_{\mathrm{\mathit{B}}}\text{(}n\text{)}]}=\frac{2}{\text{π}}\frac{NA^2}{2\sigma^2} $$ (11) 在实际情况下，通常认为噪声幅度要远大于信号幅度，根据以上分析可以求得量化后的SNR损失为
$$ {\mathrm{Loss}} = \frac{{{R_{{{\rm{SN}}}}}_2}}{{{R_{{{\rm{SN}}}}}_1}} = \frac{2}{{\text{π }}} $$ (12) 由上式可以看出，信号1位量化时损耗为固定值，约为–1.96 dB.
2. 多位量化损耗分析
当信号进行B位量化(B≥1)时，有
${2^{B}} - 1$ 个量化电平，量化结果有${2^{B}}$ 种可能，其量化函数表达式可以表示为$$ {S}_{{B}}{[}n{]}=\left\{\begin{array}{l}-{2}^{{B}}+1,\quad s\text{[}n\text{]}\leqslant \left({2}^{{B}{-1}}-1\right)L\\ \;\;\;2i+1,\quad iL < s{[}n{]}\leqslant(i+1)L\\ \;\;\;{2}^{{B}}-1,\quad s\text{[}n\text{]} > \left({2}^{{B}{-1}}-1\right)L\end{array}\right. $$ (13) 式中：
$ \text{ }i\in \left\{-{2}^{{B}-1}+1,-{2}^{{B}-1}+2,\cdots ,{2}^{{B}-1}-2\right\} $ ；B为量化位数；L为量化间隔，L的取值与量化阈值及量化电平数相关，当量化阈值H确定时有$$ L = \frac{H}{{{2^{{B}{ - 1}}}}} $$ (14) 一般情况下，量化阈值设为一个定值，接收信号的幅度会通过自动增益控制的调整来适应量化阈值，不会对后续分析造成影响. B位量化后的取值概率可以表示为
$$\begin{array}{l} P{\{ }{S_{B}}{[}n{]\} } =\\ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}{\sigma ^2}} }}\int_{\frac{{{\text{(}}{2^{{B}{ - 1}}} - 1{\text{)}}}}{{{A_{g}}}} - y{[}n{]}}^{ + \infty } {{{\rm{exp}}}\left\{ { - \displaystyle\frac{{{z^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right\}{\text{d}}z} ,\quad\;\; i = {2^{{B}{ - 1}}} - 1 \\ \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}{\sigma ^2}} }}\int_{ - \infty }^{\frac{{ - {\text{(}}{2^{{B}{ - 1}}} - 1{\text{)}}}}{{{A_g}}} - y{[}n{]}} {{{\rm{exp}}}\left\{ { - \displaystyle\frac{{{z^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right\}{\text{d}}z,}\quad i = - {2^{{B}{ - 1}}} \\ \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}{\sigma ^2}} }}\int_{\frac{i}{{{A_g}}} - y{[}n{]}}^{\frac{{i + 1}}{{{A_{g}}}} - y{[}n{]}} {{{\rm{exp}}}\left\{ { - \frac{{{z^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right\}{\text{d}}z, \qquad \; \rm{other}} \end{array} \right. \end{array}$$ (15) 式中，
${A_{g}}$ 为量化过程中增益控制器的系数.同理期望可以表示为：
$$ \begin{split} {E}\left\{S_{B}[n]\right\} & =\sum_{2^{B-1}-1}^{i=0}(2{i}+1)\left[P_{2i+1}-P_{-(2i+1)}\right] \\ & =\frac{2 y[n]}{\sqrt{2 \text{π} \sigma^{2}}}\left[1+2 \sum_{2^{B-1}-1}^{i=1} \exp \left\{-\frac{(i / A_g)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right\}\right] \end{split} $$ (16) $$ \begin{split}{E}\left\{{S}_{{B}}^{2}\text{[}n\text{]}\right\}&=\sum _{{2}^{B-1}-1}^{i=0}{\text{(}2i+1\text{)}}^{2}\left[{p}_{2i+1}+{p}_{-(2i+1)}\right]\\ &=1+8\sum _{{2}^{{B}-1}-1}^{i=1}i\cdot \text{erfc}\left(\frac{i/{A}_{{g}}}{\sqrt{2}\sigma }\right)\end{split} $$ (17) 由以上公式可以得到经过B位量化后的SNR
$ R\mathrm{_{SN2}} $ 为$$ R_{\text{SN}2}=\frac{2}{\text{π}}\frac{\left[1+2\displaystyle\sum_{2^{{B}{-1}}-1}^{i=1}\text{exp}\left\{-\dfrac{{(}i/A_{{g}}{)}^2}{2\sigma^2}\right\}\right]^2}{1+8\displaystyle\sum_{2^{{B-}{1}}-1}^{i=1}i\cdot\text{erfc}\left(\dfrac{i/A_{{g}}}{\sqrt{2}\sigma}\right)}\frac{A^2N}{2\sigma^2} $$ (18) 量化前后的SNR损失为
$$ {\mathrm{Loss}}=\frac{2}{\text{π}}\displaystyle\frac{{\left[1+2\displaystyle\sum _{{2}^{{B}{-1}}-1}^{i=1}\text{exp}\left\{-\displaystyle\frac{{{(}i/{A}_{{g}}{)}}^{2}}{2{\sigma }^{2}}\right\}\right]}^{2}}{1+8\displaystyle\sum _{{2}^{{B}{-1}}-1}^{i=1}i\cdot \text{erfc}\left(\frac{i/{A}_{{g}}}{\sqrt{2}\sigma }\right)} $$ (19) 在信号量化过程中，根据接收机的性能和硬件资源情况合理选择量化位数是首要解决的问题，根据上文分析，图2~3给出了不同量化位数下信号量化的损耗.
由图2~3可知，对同一信号选择不同的量化位数，量化损耗有很大的差别，1位量化时损耗固定在–1.96 dB，随着量化位数升高，2位量化时损耗减小到约–0.5 dB，损耗有较大的改善；当增加到3位量化时，此时量化损失已经达到一个较小的水平；继续增加量化位数，虽然损耗的量级再次减小，但是已经不如之前明显.
当量化位数大于5位时，再增加量化位数，量化损耗的改善已经很微小. 考虑到硬件实现过程中资源的消耗，在能够满足设计需要的前提下，一般接收机量化位数在5位以内即可. 目前的商用接收机大多采用的都是2~3位量化，高端接收机根据需要一般采用3位以上量化.
生成一组不同SNR的卫星导航信号，对这组接收信号进行同一位数的量化(如3位量化)，进一步观察信号量化损耗曲线与SNR的关系，结果如图4所示.
可以看出在量化位数固定的前提下，影响量化损耗的因素主要是接收信号的标准差(
${\sigma }$ )以及增益控制系数(Ag)，随着SNR提高，量化损耗曲线的峰值逐渐左移，这是因为随着信号的SNR增大，标准差也不断增大，不同SNR的信号均存在一个最佳的增益系数使得量化损耗达到最小，但在同一量化位数下，信号的量化损耗基本一致. 如图4所示，3位量化时损耗均约为–0.16 dB，这也验证了前文的结论.3. 自动增益控制对量化损耗的影响
3.1 自动增益控制系统分类
在量化过程中，大多数量化系统中都加入了自动增益控制器(automatic gain control，AGC)，其作用是根据接收机接收范围对输入信号的功率进行缩放或者根据信号的统计特性自适应控制量化门限，以避免量化过程中限幅失真和较大的SNR损耗. 自动增益控制系统主要分为模拟型和数字型两种[13]，由于模拟型实现过程较复杂、抗冲击性较差，且不利于小型化，而数字AGC系统可以有效克服以上缺点，目前逐渐成为主流. 对于数字AGC系统而言，有反馈式和前馈式两种结构[14]，如图5~6所示.
由于前馈式AGC系统不产生反馈回路，对稳定性也没有要求，因此常用来处理带宽较大的信号，能够快速建立稳定时间，但是对于输入信号的线性度有较高的要求[15]，当噪声干扰较大时，一般采用反馈式AGC系统，由于反馈环路的存在，系统的线性度和稳定度都会明显增强.
3.2 功率检测AGC系统基本原理
图7给出了基于功率检测的反馈式AGC系统基本模型.
设输入信号的功率为
${P_{{i}}}$ ，基准功率为${P_{{d}}}$ ，当输入信号功率与基准功率存在误差时会生成误差信号e(n)，控制信号发生电路通过误差信号判断产生相应控制信号[16]，起到控制可变增益放大器的目的，图8为基于功率检测AGC系统的算法流程图[17].基于功率检测的AGC系统是通过检测输入信号功率与参考功率的差值来调节系统增益，当误差信号大于零则说明输入信号功率过大需要下调增益；当误差信号小于零则说明输入信号功率较小需要上调增益，在实际实现过程中，还需要根据量化精度为误差信号设置一定的阈值范围，若误差信号在阈值允许范围内，则认为系统锁定，不再调整增益.
3.3 基准功率选取对量化损耗的影响
基准功率选取会对量化过程产生较大影响，目前常见接收机ADC部分通常以最高量程电压作为基准电压，从而得到基准功率[18]，当基准电压为一个定值时，信号的量化损耗很难达到理论上的最小值. 因此本文提出一种通过合理选择基准功率以减小量化损耗的方式，通过前文分析，根据不同的量化位数选择使量化损耗达到最小的功率值作为期望功率
${P_{{e}}}$ ，通过增益控制使输入信号的功率向期望功率靠近，进而使得量化损耗达到最小.以WN干扰下的接收信号为例，说明这种情况. 当有用信号被噪声淹没时，接收信号的功率约等于噪声方差的功率，当信号的方差与量化位数确定时，可以通过式(17)推出对应的最佳增益系数Ag的值，期望功率可以表示为
$$ P\mathit{_{{e}}}=A_g*\sigma $$ (20) 通过误差信号调整接收信号功率不断向期望功率接近，使信号的量化损耗最小. 在实际实现过程中，由于对公式的积分运算较为困难，可以通过建立查找表的形式对期望功率进行查表计算，避免了复杂的运算过程. 通过仿真验证更加直观说明这一现象，设接收信号的SNR为–20 dB，噪声功率为50 W，ADC部分的基准电压为5 V，基准功率为25 W时，由图9~10可知，最佳增益系数的取值以及采用不同参考功率量化后损耗的对比.
由表1可知，在实际量化过程中，使用期望功率进行量化，最终量化损耗存在大约1 dB的改善，随着量化位数增大. 且整体的量化损耗也提升了几个量级.
表 1 −20 dB信号不同参考功率下量化损耗对比量化位数/
bit最佳增益
系数(Ag)期望功率
(Pe)期望功率
量化损耗/dB基准功率
量化损耗/dB2 0.14 7.0 –0.550 –1.84 3 0.24 12.0 –0.160 –1.65 4 0.40 20.0 –0.050 –1.34 5 0.74 37.0 –0.015 –0.84 6 1.36 68.0 –0.004 –0.26 3.4 仿真验证
图11~16分别以基准功率和期望功率作为参考功率对多个SNR不同的信号进行量化，观察对应量化损耗，以验证上文的结论.
通过图11~16仿真结果可以看出，随着量化位数的增加，量化损耗逐渐减小，这与前文的分析一致；实际损耗的曲线图表明，随着SNR的不断减小，在基准功率为定值的情况下，达到量化饱和点的量化位数逐渐减小. 这是因为随着SNR减小，噪声对信号的干扰不断增大，在有限的量化范围内，信号被压缩过度导致的现象，继续减小SNR，最终量化实际损耗曲线会回归到–1.96 dB附近. 最佳损耗的曲线图说明，在SNR变化的条件下，通过合理选择期望功率，可以使信号的量化损耗维持在最小状态，最佳量化损耗明显优于实际量化损耗.
4. 结束语
文章首先对不同量化位数下信号量化的形式做了分析，从1位量化扩展至B(B≥1)位量化，进而针对信号SNR变化推导出量化损耗的一般性公式. 介绍了自动增益控制在量化过程中的作用，分析了基于功率检测的AGC系统对量化损耗的影响，并给出了改善方案，通过合理选择基准功率可以有效改善量化损耗，最后对以上分析分别做了仿真验证.
综上所述，信号在量化过程中合理选择量化位数与AGC系统的基准功率，对于量化损耗的改善有很大帮助，且能够提升接收机的性能. 文章是基于信号噪声为WN的基础上对量化过程进行分析的，对于信号量化过程中的其他噪声干扰，仍可按照本文的推导方式进行分析.
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表 1 −20 dB信号不同参考功率下量化损耗对比
量化位数/
bit最佳增益
系数(Ag)期望功率
(Pe)期望功率
量化损耗/dB基准功率
量化损耗/dB2 0.14 7.0 –0.550 –1.84 3 0.24 12.0 –0.160 –1.65 4 0.40 20.0 –0.050 –1.34 5 0.74 37.0 –0.015 –0.84 6 1.36 68.0 –0.004 –0.26 
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