Research on joint TOA estimation algorithm based on baseband mode S signal
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摘要: 针对广域多点定位系统中接收信号信噪比(signal to noise ratio, SNR)低导致到达时间(time of arrival, TOA)提取不准确的问题，提出了一种匹配滤波结合非相干积累的联合TOA估计算法，该算法能够有效降低匹配滤波法在低SNR下TOA估计的均方根误差(root mean square error, RMSE). 联合算法通过对二次雷达驻留时间内接收的应答信号的匹配滤波输出做非相干积累，在最大值点处标记时间戳进行TOA估计，利用能量累积原理提高SNR，从而使得估计精确度得以提升. 仿真结果表明：该算法可在−15 dB SNR，53 MHz采样频率及9个积累信号时，达到24.302 ns的TOA估计精确度. 所提联合TOA估计算法具有高精确度与高稳健性的特点，能够在−15~0 dB SNR 将估计精确度提升至25 ns以下，为提取低SNR S模式信号TOA进而提升广域多点定位精确度提供了一种有效的方法.Abstract: Aiming at the problem of inaccurate time of arrival (TOA) extraction caused by low signal-to-noise ratio (SNR) of received signals in wide area multilateration system, a joint TOA estimation algorithm combining matched filter and non-coherent integration is proposed, which can effectively reduce the root mean square error (RMSE) of the matched filter TOA estimation method under low SNR. The joint algorithm does the non-coherent integration of the matched filter output of the received reply signals within the dwell time of the secondary surveillance radar, marks a time stamp at the maximum point for TOA estimation, and uses the principle of energy accumulation to improve the SNR, so as to improve the estimation accuracy. The simulation results show that the algorithm can achieve a TOA estimation accuracy of 24.302 ns at −15 dB SNR, 53 MHz sampling frequency and 9 accumulated signals. The proposed joint TOA estimation algorithm has the characteristics of high accuracy and high robustness, and can improve the estimation accuracy to less than 25 ns at the SNR of −15 dB to 0 dB. It provides an effective method for extracting the TOA of mode S signals with low SNR and improving the positioning accuracy of wide area multilateration.
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0. 引 言
多点定位系统中，信号到达时间(time of arrival, TOA)的精确提取与估计对民用航空飞机的实时高精确度监视起到了至关重要的作用. 可靠的TOA估计算法，可以在定位、导航与授时(positioning，navigation and timing, PNT)体系中为民航领域提供精确与稳定的定位服务.
Chan等[1]提出自卷积算法，通过卷积峰值位置结合最小二乘法求解TOA和脉冲宽度，可用于部分参数已知的信号，但是对信噪比(signal to noise ratio, SNR)有较高的要求. D'amico等[2]提出通过测量窗口中信号的能量变化估计TOA的算法，但是只在中高SNR时具有较高估计精确度. 谭钏章等[3]提出自相关结合倒序累加的TOA估计算法，可用于各种调制雷达信号，但是在低SNR时，精确度只能达到微秒级.
以往的算法大多在低SNR时难以对TOA进行有效的提取与估计，为降低广域多点定位范围内终端(进近)和航路上飞机的定位偏差，当今TOA估计算法仍有许多理论方法和技术难题亟待攻克.
本文根据被动式多点定位与二次雷达工作原理之间的联系，引入驻留时间概念，提出对基站接收到的基带S模式应答信号做匹配滤波和非相干积累，从而实现SNR为−15~0 dB的S模式信号TOA的精确估计，为低SNR信号TOA估计问题的研究提供了一定参考.
1. S模式信号与TOA估计
1.1 S模式信号模型
如图1所示，为S模式应答信号形式，其数学模型
$ s(t) $ 可以表示为[4]$$s(t) = \sum\limits_{n = 0}^{127/239} {b} [n]p(t - n{{T}}) $$ (1) 式中：
$t$ 与$n$ 分别为时间与离散时间序列号；$ {b}[n] $ 为数组$ [1,0,1,0,0,0,0, 1, 0, 1,0,0,0,0,0,0,{b_1},{b_2}, \cdots ,{b_{56/112}}] $ ，其中$ {b_1},{b_2}, \cdots , {b_{56/112}} $ 为数据块中每个bit的曼彻斯特编码；$ p(t) $ 为脉宽T=0.5 μs的方波脉冲.由于S模式应答信号报头具有特定的时序关系，通常提取其前导脉冲，采用时间戳标记法对S模式信号进行TOA估计[5]. 以S模式信号前导四脉冲为研究对象，设置每个子脉冲边沿时间均为国际民航组织(International Civil Aviation Organization, ICAO)规定中的最大值[6]，即上升沿0.1 μs，下降沿0.2 μs，仿真模型如图2所示，采样频率为40 MHz，其中子脉冲宽度均为0.65 μs，四脉冲总宽度为5.15 μs，1/2幅值处的有效脉冲宽度为5 μs.
1.2 TOA精确度评估
TOA估计精确度可以通过时间戳标记误差的均方根(root mean square error, RMSE)值来衡量. 假设理论上时间戳应标记在
$ {N_0} $ 采样点，实际标记在了$ {N_{\text{e}}} $ 采样点，经过$ G $ 次蒙特卡罗实验，可得TOA估计的RMSE表达式为$$ {E_{{\text{RMS}}}} = \sqrt {\frac{1}{G}\sum\limits_{i = 1}^G {{{\left| {({N_{\text{e}}}_{_i} - {N_0}) \cdot {T_{\text{s}}}} \right|}^2}} } $$ (2) 式中：
$ {N_{{{\text{e}}_i}}} $ 为第$ i $ 次蒙特卡罗实验的时间戳标记点；${T_{\text{s}}}$ 为采样间隔.$ {E_{{\text{RMS}}}} $ 值越小，代表TOA估计精确度越高.2. 背景简析
2.1 被动式多点定位系统
图3为被动式多点定位系统示意图，其工作原理是通过直接接收并处理飞机对二次雷达A/C、S模式询问的应答信号或广播式自动相关监视系统(automatic dependent surveillance-broadcast, ADS-B)对飞机进行定位[7].
本文以被动式多点定位系统工作方式为背景，接下来，针对飞机对S模式二次雷达询问的应答这类情况，进行详细分析.
2.2 二次雷达驻留时间
图4为雷达扫描过程示意图，二次雷达扫描波束具有一定宽度，波束完全扫描过飞机需要的时间为驻留时间，这段时间内雷达可以对数据进行获取、检测和测量[8].
当飞机距离地面站很远时，飞机的长度近似为一个点，波束边沿扫描过飞机机体的时间可以忽略不计，因此，驻留时间
$ {T_{\text{d}}} $ 的长短主要取决于天线波束宽度$\theta $ 和天线转速$ r $ ，其表达式为$$ {T_{\text{d}}} = (\theta /{360\text{°} })/r $$ (3) 在飞机被波束覆盖的驻留时间内，二次雷达能够以一定的脉冲重复频率向“点名”的飞机发送S模式询问信号[9]，可以询问的次数
$ M $ 为$$M = {T_{\text{d}}} \cdot {F_{{\text{PR}}}} $$ (4) 式中，
$ {F_{{\text{PR}}}} $ 为脉冲重复频率. 飞机接收到雷达在驻留时间内发射的$ M $ 个询问信号后，会发送相应的应答信号，该应答信号群组包含相同数据，地面基站接收后送入航迹处理器做点迹凝聚处理，最终合成一个目标应答报告. 通常驻留时间内需要接收至少4个有效S模式应答信号才能将数据合成点迹[10].为方便分析，将飞机和S模式二次雷达相关参数设置为一些典型值，如表1所示.
表 1 飞机与雷达参数参数 取值 飞机巡航速度 828 km/h 天线波束宽度 2.7° 天线转速 10 r/min 脉冲重复频率 200 Hz 将以上参数分别带入式(3)、(4)，可以计算出驻留时间为45 ms，在该时间内，飞机移动了10.35 m，二次雷达能够发射9次询问信号.
在被动式多点定位系统中，基站可能会接收到与二次雷达S模式应答信号长码格式具有相同脉冲串的ADS-B信号，及空中交通预警和空中防撞系统(traffic collision avoidance system, TCAS)中的S模式应答信号，这两种信号并不存在驻留时间的概念，可以通过提取信号数据块前5 bits的不分段(downlink format, DF)字段值对其进行区分[11]，具体区分方法如表2所示.
表 2 不同S模式信号分类S模式信号形式 DF字段 内容 二次雷达全呼叫应答 11 ICAO地址 二次雷达选择呼叫应答 4,5,20,21 ICAO地址、飞机代码、
高度、数据链路ADS-B 17,18,19 ICAO地址、飞机代码、
ADS-B信息、高度TCAS 0,16 ICAO地址、高度、空/空协同 3. 联合TOA估计算法
3.1 匹配滤波
设经过采样后的离散S模式应答信号前导脉冲为
$ s(n) $ ，其高电平采样点数为$ {r_1} $ . 根据匹配滤波器原理，信号$ s(n) $ 经过匹配滤波器的输出$ {y_1}(n) $ 为$$ {y_1}(n) = s(n) * h(n) = {R_s}(N - n) $$ (5) 式中：
$h(n) = s(N - n)$ 为匹配滤波器冲激响应；$ {R_s} $ 为$ s(n) $ 的自相关函数；$ N $ 为$ s(n) $ 的总采样点数. 当$ n = N $ 时，匹配滤波器输出$ {y_1}(n) $ 取得最大值$ {r_1} $ .设接收端仅受到均值为0，方差为
${\sigma ^2}$ 的高斯白噪声$ w(n) $ 影响，则接收信号$ r(n) $ 为$$ r(n) = s(n) + w(n) $$ (6) $ r(n) $ 经过匹配滤波器后的输出$Y(n)$ 为$$ \begin{split} Y(n) =& r(n) \cdot h(n) \\ =& {R_s}(N - n) + \sum\limits_{j = 0}^{N - 1} {s(N - j) \cdot w(n - j)} \\ =& {y_1}(n) + \sum\limits_{j = 0}^{{r_1} - 1} {w(n - j)} \\ =& {y_1}(n) + {y_0}(n) \end{split} $$ (7) 式中：
$j$ 为卷积过程中的离散时间序列；${y_0}(n)$ 为噪声$ w(n) $ 经过匹配滤波器的输出，仍然服高斯分布，其平均功率${P_{{y_0}}}$ 为$$ {P_{{y_0}}} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{2N - 2} {{{\left| {{y_0}(n)} \right|}^2}} }}{{2N - 1}} = \frac{{{r_1}N{\sigma ^2}}}{{2N - 1}} = \frac{{{r_1}{\sigma ^2}}}{{2 - \displaystyle\frac{1}{N}}}$$ (8) 在
$N$ 采样点处，匹配滤波输出$Y(n)$ 取得最大值和SNR，其信号噪声功率比$ {R_{{\text{SNPM}}}} $ 可以表示为$$ {R_{{\text{SNPM}}}} = \frac{{{{\left| {{y_1}(N)} \right|}^2}}}{{{P_{{y_0}}}}} = \frac{{{r_1}\left(2 - \displaystyle\frac{1}{N}\right)}}{{{\sigma ^2}}} $$ (9) 由上式可知，信号长度越长，采样频率越高，峰值点处的SNR提升效果越好.
在匹配滤波输出最大值点处标记时间戳可对信号进行TOA估计[12]. 但是随着SNR的降低，匹配滤波输出峰值点产生偏移，如图5所示，当采样频率为40 MHz时，未加噪S模式信号前导脉冲模型经过匹配滤波后，时间戳理论上应当标记在第207个采样点；当信号SNR降至−15 dB时，其匹配滤波输出最大值点在第212个采样点，与理论时间戳标记点有5个采样点的偏差，进而导致TOA估计的RMSE值急剧增加. 因此考虑对驻留时间内的接收信号做匹配滤波后进行非相干积累，通过能量累积原理提高TOA估计精确度.
3.2 平方律非相干积累
对驻留时间内的
$ {N_{{\text{ncoh}}}} $ 个信号的匹配滤波输出做平方律非相干积累[13]，即功率积累，得到$ Z(n) $ ：$$ \begin{split} Z(n) =& \sum\limits_{k = 1}^{{N_{{\text{ncoh}}}}} {{{\left| {{Y_k}(n)} \right|}^2}} \\ = &{N_{{\text{ncoh}}}} \cdot {R_{{s}}}{(N - n)^2} + \sum\limits_{k = 1}^{{N_{{\text{ncoh}}}}} {{y_{{0_k}}}{{(n)}^2}}\\ & + 2\sum\limits_{k = 1}^{{N_{{\text{ncoh}}}}} {{R_{{s}}}(N - n) \cdot {y_{{0_k}}}(n)} \\ = &{N_{{\text{ncoh}}}} \cdot {y_1}{(n)^2} + {Z_{{\text{np}}}}(n) \end{split} $$ (10) 式中：
$ {Y_k}(n) $ 和${y_{{0_k}}}(n)$ 分别为第$k$ 个接收信号$ {r_k}(n) $ 和其噪声经匹配滤波后的输出；${Z_{{\text{np}}}}(n)$ 为噪声部分.$N$ 采样点处$ Z(n) $ 的信号噪声功率比${R_{{\text{SNPF}}}}$ 为$$ {R_{{\text{SNPF}}}} = \frac{{{{\left| {{N_{{\text{ncoh}}}} \cdot {y_1}{{(N)}^2}} \right|}^2}}}{{\displaystyle\frac{{\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{2N - 2} {{{\left| {{Z_{{\text{np}}}}(n)} \right|}^2}} }}{{2N - 1}}}} = \frac{{{N^2_{{\text{ncoh}}}} \cdot {r^4_1} \cdot (2N - 1)}}{{\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{2N - 2} {{{\left| {{Z_{{\text{np}}}}(n)} \right|}^2}} }} $$ (11) 为衡量平方律非相干积累对匹配滤波输出最大值点处的信号噪声功率比的提升效果，将
${R_{{\text{SNPF}}}}$ 与$ {R_{{\text{SNPM}}}} $ 相除可得$$ {R_{{\text{SNPF}}}}/{R_{{\text{SNPM}}}} = \frac{{{N^2_{{\text{ncoh}}}} \cdot {r^3_1} \cdot N \cdot {\sigma ^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{2N - 2} {{{\left| {{Z_{{\text{np}}}}(n)} \right|}^2}} }} $$ (12) 下面通过仿真评估平方律非相干积累对S模式信号前导四脉冲匹配滤波输出的SNR提升效果.
如图6所示，采样频率为40 MHz时，随着基带信号SNR不断增加，非相干积累对匹配滤波输出最大值点处的信噪功率比提升效果整体呈上升趋势，并且非相干积累信号数目越多，SNR越高，提升效果越好，具体提升效果如表3所示. 因此，在本文基带信号SNR研究范围−15~0 dB内，平方律非相干积累能够有效提升匹配滤波输出信号在
$N$ 采样点处的SNR.表 3 SNR与非相干积累信噪功率比提升效果的关系SNR ${R_{ {\text{SNPF} } } }/{R_{ {\text{SNPM} } } }$ ＞0 dB ≈2.5${N_{{\text{ncoh}}}}$ −23~0 dB 1~2.5${N_{{\text{ncoh}}}}$ ＜−23 dB ≤1 如图7所示，当采样频率为40 MHz，SNR为−15 dB时，2个和6个信号的匹配滤波输出经平方律非相干积累后的输出，最大值点的时间戳分别标记在第205和207个采样点，对比图5，可见随着积累信号数目增加，SNR提高，信号最大值点特征愈加明显，从而能够更准确地标记时间戳.
3.3 算法流程
综上所述，联合TOA估计算法流程为：首先分别对飞机驻留时间内基站接收到的
$ {N_{{\text{ncoh}}}} $ 个S模式应答信号的前导四脉冲${r_k}(n)$ 做匹配滤波，然后取其输出$ {Y_k}(n) $ 的幅度绝对值做平方运算，再将这$ {N_{{\text{ncoh}}}} $ 个平方运算后的信号进行累加，得到经过平方律非相干积累后的信号$Z(n)$ ，并在其最大值点处进行时间戳标记，最后在时钟同步条件下提取TOA. 具体算法流程如图8所示.4. 算法仿真分析
在匹配滤波TOA估计算法的对比下，从非相干积累信号数目、采样频率、估计误差分布三个方面对联合算法估计S模式信号TOA的性能进行分析与评估.
4.1 非相干积累信号数目对算法性能的影响
如图9所示，为采样频率40 MHz，1个信号通过匹配滤波法和2、7、13、15个信号通过联合算法估计TOA的RMSE值. 可见，积累信号数越多，RMSE越小，联合算法在SNR越低时具有越高的精确度. 第2个积累信号的加入对匹配滤波算法精确度的提升能力最好，SNR为−15 dB时，能够减少匹配滤波法约60%的RMSE，13个信号参与非相干积累后，联合算法精确度可达24.238 ns.
4.2 采样频率对算法性能的影响和限制
如图10所示，提高采样频率至100 MHz，SNR为−15 dB时，联合算法可通过积累5个信号达到23.582 ns精确度，远少于40 MHz时所需积累信号数目，程序用时243.9 μs. 第2个信号的加入将匹配滤波法RMSE降低了75%. 对比图9，可知提高采样频率，在相同SNR和积累信号数目下，联合算法的精确度也得以提高.
根据以上分析，非相干积累信号数目决定了联合算法的精确度. 如图11所示，为联合算法达到25 ns以下精确度时所需要的最少非相干积累信号数目. 当采样频率为100 MHz，联合算法所需信号数目始终小于等于40 MHz，并且SNR在−8 dB以上时，仅需1个积累信号即可达到25 ns以下的精确度，小于40 MHz采样频率时对应的SNR在−4 dB. 因此，通过提高采样频率，联合算法可以采用更少的信号达到相同精确度要求.
如图12所示，SNR为−15 dB，联合算法达到25 ns以下精确度时，采样频率与所需最少积累信号数目之间的关系. 提高采样频率，最少积累信号数目呈阶梯下降趋势，但是在部分采样频率时，可能会有1个上下的波动，导致该现象产生的原因有：
1) 当信号时间长度不是采样间隔的整数倍时，信号模型在时间轴上被不完全采样，使得采样信号与信号模型存在细微差别.
2) 仿真实验中高斯白噪声取值具有随机性，噪声对每一次蒙特卡罗实验结果均有不同影响.
根据2.2节分析，实际可参与非相干积累的信号数目受到雷达工作参数的限制，通常不多于9个. 因此，如图12和图13所示，当基带信号SNR为−15 dB，联合算法需要至少53 MHz采样频率，通过9个信号参与非相干积累，可以达到24.302 ns精确度.
4.3 TOA估计误差分布
如图14和图15所示，分别为基带信号，SNR为−15 dB，采样频率为53 MHz时，1个信号经过匹配滤波和多个信号经过联合算法进行1000次TOA估计的误差分布，主要误差值在表4中列出. 当联合算法中有2个信号参与非相干积累时，其误差分布相比匹配滤波误差更加集中，当积累信号数目增加至9个后，误差值大幅减小. 因此相比匹配滤波法，联合算法具有更好的精确度和稳健性.
表 4 联合算法误差分布TOA估计算法 信号数目/个 主要误差分布/ns 匹配滤波 1 −3600~3800 联合算法 2 −1000~1100 9 −80~80 5. 结束语
本文从被动式多点定位系统中基站在二次雷达驻留时间内接收到的二次雷达S模式应答信号出发，以子脉冲上升沿为0.1 μs，下降沿为0.2 μs的S模式前导四脉冲信号为研究对象，提出了适用于SNR为−15~0 dB的联合TOA估计算法，能够有效提高S模式应答信号的TOA估计精确度至ICAO规定的25 ns以下. 通过仿真实验分析得出，提高采样频率、SNR和非相干积累信号数目，能够提高联合算法的精确度. 对于SNR为−15 dB的基带信号，联合算法需要至少53 MHz采样频率，因此使用联合算法时应结合实际情况，尽量提高采样频率. 该算法虽运算简单，但具有较高的精确度与稳健性，为提高广域多点定位的定位精确度提供了一种有效的方法.
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表 2 不同S模式信号分类
S模式信号形式 DF字段 内容 二次雷达全呼叫应答 11 ICAO地址 二次雷达选择呼叫应答 4,5,20,21 ICAO地址、飞机代码、
高度、数据链路ADS-B 17,18,19 ICAO地址、飞机代码、
ADS-B信息、高度TCAS 0,16 ICAO地址、高度、空/空协同 
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表 3 SNR与非相干积累信噪功率比提升效果的关系
SNR ${R_{ {\text{SNPF} } } }/{R_{ {\text{SNPM} } } }$ ＞0 dB ≈2.5${N_{{\text{ncoh}}}}$ −23~0 dB 1~2.5${N_{{\text{ncoh}}}}$ ＜−23 dB ≤1
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