Assessment of antenna array-aided RTK positioning with different cut-off elevation angles
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摘要: 针对天线阵列实时动态(RTK)的定位性能评估问题，将天线阵列RTK的数学模型与RTK的数学模型进行对比分析，并在不同截止高度角下采用天线阵列RTK与RTK对一组静态实测数据进行单历元解算. 结果表明：相较于RTK，天线阵列RTK能够增加双差观测方程的冗余度从而增加模型强度，达到提高模糊度固定成功率与定位精度的效果. 基于GPS+北斗卫星导航系统(BDS)组合的天线阵列RTK在50°大截止高度角下，其模糊度固定成功率达到93.6%，并且固定解水平精度优于1 cm、高程精度优于2 cm，能够满足高精度定位需求，进一步提高了RTK在城市峡谷等环境中的适用性.Abstract: To evaluate the positioning performance of antenna array-aided real time kinematic (RTK), the mathematical model of antenna array-aided RTK is compared with the mathematical model of RTK firstly, and then a set of static measurement is processed with antenna array-aided RTK and RTK at different cut-off elevation angles. It is demonstrated that the strength of RTK is enhanced by increasing the redundancy of the double-difference observation equation from antenna array, which can improve the success rate of ambiguity resolution and positioning accuracy. Based on the combination of GPS and BDS, the antenna array-aided RTK achieves 93.6% ambiguity resolution success rate at a large cut-off elevation angle of 50°. Moreover, the horizontal accuracy of the fixed solution is better than 1 cm and the height accuracy is better than 2 cm, which can fulfill the demand of high-precision positioning and improve the applicability of RTK in urban canyon environment.
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0. 引 言
实时动态(RTK)是一种利用载波相位观测值实现高精度定位的技术之一，载波相位整周模糊度正确固定是RTK达到厘米级甚至毫米级定位的关键[1]. 为解决模糊度固定问题，基于整数最小二乘理论的算法是当前模糊度解算方法中关注最多的，这类方法中比较有代表性的有最小二乘模糊度降相关平差(LAMBDA)[2]、三频载波模糊度解(TCAR)[3]、最优GPS模糊度估计(OMEGA)等[4]. 同时模糊度固定还取决于全球卫星导航系统(GNSS)的模型强度及观测值精度，相同观测精度下模型强度越强模糊度就越容易固定[5-6]. 为增强GNSS模型强度，一些学者使用多频、多系统组合的GNSS定位方法，结果表明：双频、三频组合的模糊度固定率高于单频[7–10]，多系统组合能够改善卫星空间几何结构，提高定位精度[11–13]. 另外基于多接收机组合的方法已被广泛使用，例如多元约束的姿态确定[14–16]、多动态参考差分增强定位[17]、天线阵列辅助精密单点定位(PPP)等[18].
研究表明多台接收机组成的天线阵列能够提高RTK模糊度固定成功率与可靠性[19]，但目前对天线阵列RTK的研究较少，文献[6，19]主要对天线阵列RTK的模糊度固定进行分析，对其定位性能分析较少，对不同截止高度角下的天线阵列RTK定位研究不足. 设置不同截止高度角在一定程度上能够模拟树木、建筑遮挡卫星信号的情况，所以不同截止高度角下的天线阵列RTK定位性能分析具有一定的研究和应用价值.
为此，本文对比分析了天线阵列RTK与RTK的数学模型，研究了20°~50°截止高度角下GPS单系统、BDS单系统以及GPS+BDS的天线阵列RTK模糊度固定与定位性能，并与RTK计算结果进行比较，验证了天线阵列RTK模型的可行性，并提高了RTK在大截止高度角下的适用性.
1. 天线阵列RTK模型
1.1 观测模型
假设原始伪距、载波相位观测方程为
$$ \begin{gathered} \phi _{u,f}^s = \rho _u^s + {\rm{d}}{t_u} - {\rm{d}}{t^s} + T_u^s - I_{u,f}^s + {\lambda _f}N_{u,f}^s + \varepsilon _{u,f}^s{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} , \\ P_{u,f}^s = \rho _u^s + {\rm{d}}{t_u} - {\rm{d}}{t^s} + T_u^s + I_{u,f}^s + e_{u,f}^s{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} . \\ \end{gathered} $$ (1) 式中：
$\phi _{u,f}^s$ 、$P_{u,f}^s$ 分别为原始载波相位、原始伪距的观测值；$u$ ，$s$ 分别为接收机和卫星；$f$ 为信号频率；${\rm{d}}{t_u}$ 、${\rm{d}}{t^s}$ 分别为接收机、卫星钟差；$T$ 为对流层延迟；$I$ 为电离层延迟；$N$ 为整周模糊度；$\varepsilon _{u,f}^s$ 和$e_{u,f}^s$ 分别为非差载波和非差伪距相位测量误差.短基线背景下，电离层延迟与对流层延迟经双差处理后被极大削弱，因此忽略两者双差后的残余误差项. 将
$ r $ 视为流动站接收机的标识，数字1为参考站接收机标识，$ i $ 、$ j $ 为两颗可视卫星，在式(1)的基础上，得到双差观测方程为$$ \left\{\begin{gathered} \phi _{1r,f}^{ij} = \rho _{1r}^{ij} + {\lambda _f}N_{1r,f}^{ij} + \varepsilon _{1r,f}^{ij}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ P_{1r,f}^{ij} = \rho _{1r}^{ij} + e_{1r,f}^{ij}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ \end{gathered}\right.. $$ (2) 式中：
$ \phi _{1r,f}^{ij} $ 、$ P_{1r,f}^{ij} $ 分别为载波相位双差值和伪距双差值；$ \;\rho _{1r}^{ij} $ 为星地几何距离双差值；$ N_{1r,f}^{ij} $ 为模糊度双差值；$ \varepsilon _{1r,f}^{ij} $ 、$ e_{1r,f}^{ij} $ 分别为载波相位、伪距测量误差的双差值. 设流动站$ r $ 在近似位置$ {r_0} $ 处有$\;\rho _r^s = \rho _{{r_0}}^s + \Delta \rho _r^s$ ，其中$\;\rho _{{r_0}}^s$ 为流动站近似坐标到卫星的距离，$\Delta \rho _r^s$ 为距离的余项. 据投影法则有$\Delta \rho _r^j = - {\boldsymbol{l}}_{{r_0}}^j{{\boldsymbol{b}}_{{r_0}r}}$ ，其中${\boldsymbol{l}}_{{r_0}}^j$ 为近似点到卫星的视线向量，${{\boldsymbol{b}}_{{r_0}r}}$ 为${{{r}}_0}$ 到${{r}}$ 的改正值向量，所以$\;\rho_{1 r}^{ij}=\rho_{{1r}_{0}}^{ij}- \left({\boldsymbol{l}}_{r_{0}}^{j}-{\boldsymbol{l}}_{r_{0}}^{{i}}\right) \boldsymbol{b}_{r_{0}r}$ . 因为近似点与待求点距离较近，所以认为视线向量相同，即${\boldsymbol{g}}_r^{ij} = {\boldsymbol{g}}_{{r_0}}^{ij} = - \left( {{\boldsymbol{l}}_{{r_0}}^j - {\boldsymbol{l}}_{{r_0}}^i} \right)$ ，将${{\boldsymbol{b}}_{{r_0}r}}$ 简写为${\boldsymbol{b}}$ ，则式(2)变为$$ \left\{\begin{gathered} \phi _{1r,f}^{ij'} = \phi _{1r,f}^{ij} - \rho _{1{r_0}}^{ij} = {\boldsymbol{g}}_r^{ij}{\boldsymbol{b}} + {\lambda _f}N_{1r,f}^{ij} + \varepsilon _{1r,f}^{ij} \\ P_{1r,f}^{ij'}= P_{1r,f}^{ij} - \rho _{1{r_0}}^{ij} = {\boldsymbol{g}}_r^{ij}{\boldsymbol{b}} + e_{1r,f}^{ij} \\ \end{gathered}\right.. $$ (3) 式中：
$\phi _{1r,f}^{ij'}$ 、$P_{1r,f}^{ij'}$ 分别分别为载波相位双差值减近似的星地距离双差值后的值、伪距双差值减近似的星地距离双差值后的值. 为描述方便，下文分别称为载波相位双差OMC（Observation Minus Calculation, OMC）以及伪距双差OMC.假设
$ s + 1 $ 颗卫星在第$ f $ 个频率上被同时观测，根据文献[5]，基于式(3)可以得到RTK的观测模型为$$ \left\{\begin{gathered} E\left({\boldsymbol{ \phi}} \right) = {\boldsymbol{\varLambda}} {\boldsymbol{a}} + {\boldsymbol{Gb}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ E\left( {\boldsymbol{p}} \right) = {\boldsymbol{Gb}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ \end{gathered}\right.. $$ (4) 式中：
${\boldsymbol{E}}\left( \cdot \right)$ 为期望；${\boldsymbol{\phi}} = {[ {\phi {{_{1r,1}^{1,2}}^\prime } \cdots }\quad{\phi {{_{1r,1}^{1,s + 1}}^\prime } \cdots }\quad{\phi {{_{1r,f}^{1,2}}^\prime } \cdots }\quad} {\phi {{_{1r,f}^{1,s + 1}}^\prime }} ]^{\rm{T}}$ 为$ sf \times 1 $ 阶载波相位双差OMC向量；${\boldsymbol{p}} = {[ {p{{_{1r,1}^{1,2}}^\prime } \cdots }\quad{p{{_{1r,1}^{1,s + 1}}^\prime } \cdots }\quad{p{{_{1r,f}^{1,2}}^\prime } \cdots }\quad{p{{_{1r,f}^{1,s + 1}}^\prime }} ]^{\rm{T}}}$ 为$ sf \times 1 $ 阶伪距双差OMC向量；${\boldsymbol{\varLambda}} {{ = }}{\boldsymbol{\lambda}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_s}$ 为双差模糊度向量的系数阵，其中$ {\boldsymbol{\lambda}} = {\rm{diag}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}& \cdots &{{\lambda _f}} \end{array}} \right) $ ，$ {\lambda _i} $ 为对应频率的波长，${{\boldsymbol{I}}_s}$ 为$ s $ 阶的单位矩阵；${\boldsymbol{a}} = {{\boldsymbol{N}}_{1r}} = {[ {N_{1r,1}^{1,2} \cdots N_{1r,1}^{1,s + 1} \cdots}} N_{1r,f}^{1,2} \cdots N_{1r,f}^{1,s + 1} ]^{\text{T}}$ 和${\boldsymbol{b}}$ 分别为需要估计的$ sf \times 1 $ 阶双差模糊度向量和3×1阶的基线改正值向量；${\boldsymbol{G}} = {{\boldsymbol{e}}_f} \otimes {\boldsymbol{g}}$ 为$ sf \times 3 $ 阶的基线向量的系数阵，${{\boldsymbol{e}}_f}$ 为$ f \times 1 $ 阶的全1向量，${\boldsymbol{g}}$ 为$ s \times 3 $ 阶的单位视线向量差分阵.如图1所示，由一台参考站接收机扩展到
$ n $ 台接收机时，一共能够构成$ n $ 组双差观测方程，但由一组待求的参数向量变成了$ n $ 组. 参考文献[19]中，向量${\boldsymbol{b}}$ 为参考站1和流动站$ r $ 之间的基线向量，而本文基线向量${\boldsymbol{b}}$ 实际上为近似坐标与待求坐标间的改正值向量，因此每个参考站与流动站组成的观测方程中只需要选择相同的近似坐标展开就可以保证所有待求向量${\boldsymbol{b}}$ 相同. 因为向量${\boldsymbol{b}}$ 具体含义不同，所以本文的天线阵列RTK观测模型与文献[19]有所区别.对于
$ n $ 组双差模糊度向量，有如下关系：$$ \begin{aligned} {{\boldsymbol{N}}_{1r}} =& {{\boldsymbol{N}}_{2r}} + {{\boldsymbol{N}}_{12}} \\ &\quad\vdots \\ =& {{\boldsymbol{N}}_{nr}} + {{\boldsymbol{N}}_{1n}} \end{aligned}. $$ (5) 通过式(5)可以将其他的双差模糊度向量都转为一组待求的模糊度向量
${{\boldsymbol{N}}_{1r}}$ .将RTK观测模型扩展为天线阵列RTK观测模型，即
$$ \left\{\begin{gathered} E\left( {\boldsymbol{\varPhi}} \right) = {\boldsymbol{\bar \varLambda}} {\boldsymbol{a}} + {\boldsymbol{\bar G}} {\boldsymbol{b}} \\ E\left( {\boldsymbol{P}} \right) = {\boldsymbol{\bar G}} {\boldsymbol{b}} \\ \end{gathered} \right. .$$ (6) 式中：
${\boldsymbol{\varPhi}} = \bar{\boldsymbol{\phi}} + {\rm{vec}}\left( {{\boldsymbol{\varLambda}} {{\boldsymbol{N}}_0}} \right)$ ，省略关于卫星的上标，$\bar{\boldsymbol{\phi}} = {[ {{{{\phi}} _{1r}}}\quad {{{{\phi}} _{2r}}}\quad \cdots \quad {{{{\phi}} _{nr}}} ]^{\rm{T}}}$ ，其中${{\boldsymbol{\phi}} _{ir}} = {[ {\phi {{_{ir,1}^{1,2}}' } \cdots } \quad {\phi {{_{ir,1}^{1,s + 1}}' } \cdots }} \quad {\phi {{_{ir,f}^{1,2}}' } \cdots }\quad {\phi {{_{ir,f}^{1,s + 1}}' }} ]_{1 \times {{sf}}}$ ($i = 1, \cdots ,n$ )为每个参考站与流动站间形成的双差OMC向量；双差伪距观测值向量${\boldsymbol{P}} = {[ {{p_{1r}}},{{p_{2r}}}\cdots {{p_{nr}}} ]^{\rm{T}}}$ ，其中${{\boldsymbol{p}}_{ir}} = {[ {p{{_{ir,1}^{1,2}}^\prime } \cdots }\quad {p{{_{ir,1}^{1,s + 1}}^\prime } \cdots }} \quad {p{{_{ir,f}^{1,2}}^\prime } \cdots }\quad {p{{_{ir,f}^{1,s + 1}}^\prime }} ]_{1 \times {{sf}}}$ 为一个参考站$ i $ 与流动站的伪距双差OMC向量；$\;{\boldsymbol{\bar \varLambda}} = {{\rm{e}}_n} \otimes{\boldsymbol{ \varLambda}}$ 为多天线模糊度向量系数矩阵，$ \otimes $ 为克罗内克积；${\boldsymbol{\bar G}} = {{\boldsymbol{e}}_n} \otimes {\boldsymbol{G}}$ 为拓展到天线阵列的几何设计矩阵；$ {\rm{vec}}\left( \cdot \right) $ 为矩阵向量化；${{\boldsymbol{N}}_0} = {[ {{\textit{0}}}} \quad {{{{N}}_{12}}}\quad \cdots \quad {{{{N}}_{1n}}} ]^{\rm{T}}$ 为$ sf \times n $ 阶参考站间已知的双差模糊度. 由于参考站天线之间距离很近，可以忽略掉天线间的轨道误差和大气误差的差异，另外参考站天线的坐标准确已知，故参考站天线间的双差模糊度向量可以按照下式直接取整得到：$$ \begin{split} {{\boldsymbol{N}}_{1i}} &= {\text{round}}\left( {{{\boldsymbol{\varLambda}} ^{ - 1}}{{\boldsymbol{\phi}}' _{1i}}{^{\text{T}}}} \right), \\& = {\text{round}}\left( {{{\boldsymbol{\varLambda}} ^{ - 1}}{{\left( {{{\boldsymbol{\phi}} _{1i}} - {{\boldsymbol{\rho}} _{1i}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right). \end{split} $$ (7) 式中：
$ {\rm{round}}\left( \cdot \right) $ 为取整操作；$\;{{\boldsymbol{\rho}} _{1i}} = {\boldsymbol{e}}_f^{\text{T}} \otimes \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho _{1i}^{1,2}}& \cdots &{\rho _{1i}^{1,s + 1}} \end{array}} \right]$ 为$ 1 \times sf $ 阶的双差后的星地距离向量.1.2 随机模型
根据参考文献[5]和文献[19]，直接给出RTK的随机模型：
$$ \left\{\begin{gathered} D\left( {\boldsymbol{\sigma}} \right) = {{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{\phi}} } = 2\left( {{\boldsymbol{\sigma}} _{\boldsymbol{\phi}} ^2 \otimes {{\boldsymbol{D}}_S}{{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}{\boldsymbol{D}}_S^{\rm{T}}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ D\left( {\boldsymbol{p}} \right) = {{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{p}}} = 2\left( {{\boldsymbol{\sigma}} _{\boldsymbol{p}}^2 \otimes {{\boldsymbol{D}}_S}{{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}{\boldsymbol{D}}_S^T} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ \end{gathered}\right. . $$ (8) 式中：
$ D\left( \cdot \right) $ 为方差；${\boldsymbol{\sigma}} _{\boldsymbol{\phi}} ^2 = {\rm{diag}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _{{{\boldsymbol{\phi}} _1}}^2}& \cdots &{\sigma _{{{\boldsymbol{\phi}} _f}}^2} \end{array}} \right)$ 和${\boldsymbol{\sigma}} _{\boldsymbol{p}}^2 = {\rm{diag}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _{{{\boldsymbol{p}}_1}}^2}& \cdots &{\sigma _{{{\boldsymbol{p}}_f}}^2} \end{array}} \right)$ 分别为非差相位和非差伪距观测值的方差阵；$ {{\boldsymbol{D}}_S} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{e}}_s}}&{{{\boldsymbol{I}}_s}} \end{array}} \right] $ 为$ s \times \left( {s + 1} \right) $ 阶星间差分矩阵，默认第一颗卫星为参考星，实际计算中一般选择高度角最高的卫星当作参考星；$ {\boldsymbol{W}} = {\rm{diag}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_1}}& \cdots &{{w_{s + 1}}} \end{array}} \right) $ 为通过高度角模型建立的权阵. 天线阵列中多个参考站与流动站$ r $ 之间形成的双差观测方程为$$ {\boldsymbol{\phi}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{\phi}} _{1r}^{\text{T}}} \\ \vdots \\ {{\boldsymbol{\phi}} _{nr}^{\text{T}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&{}&{} \\ \vdots &{}& \ddots &{} \\ 1&{}&{}&{ - 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{\phi}} _r^{\text{T}}} \\ {{\boldsymbol{\phi}} _1^{\text{T}}} \\ \vdots \\ {{\boldsymbol{\phi}} _n^{\text{T}}} \end{array}} \right]. $$ (9) 式中：
${{\boldsymbol{\phi}} _r}$ 、${{\boldsymbol{\phi}} _1},...,{{\boldsymbol{\phi}} _n}$ 为载波相位星间单差OMC(已经减去近似点处的星地距离)；式中其他项与上文含义一致.$ {{\boldsymbol{D}}_A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{e}}_n}}&{ - {{\boldsymbol{I}}_n}} \end{array}} \right] $ 为$ n \times \left( {n + 1} \right) $ 阶流动站与天线阵列间的差分矩阵，当$ n = 1 $ 时，$ {{\boldsymbol{D}}_A} $ 变为单参考站与流动站间的差分矩阵. 认为流动站和参考站$ 1, \ldots ,n $ 的星间单差观测值独立等精度，结合式(9)天线阵列RTK的载波相位双差方程(伪距双差方程同理)，根据误差传播律，可以得到天线阵列RTK的随机模型为：$$ \begin{gathered} D\left( {\boldsymbol{\varPhi}} \right) = {{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{\varPhi}} } = \left( {{{\boldsymbol{D}}_A}{{\boldsymbol{D}}_A^{\rm{T}}}} \right) \otimes \left( {{\boldsymbol{\sigma}} _{\boldsymbol{\phi}} ^2 \otimes {{\boldsymbol{D}}_S}{{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}{\boldsymbol{D}}_S^{\rm{T}}} \right) \\ \qquad \;\;= \left( {\frac{1}{2}{{\boldsymbol{D}}_A}{\boldsymbol{D}}_A^{\rm{T}}} \right) \otimes {{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{\phi}} }, \\ D\left( {\boldsymbol{P}} \right) = {{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{P}}} = \left( {{{\boldsymbol{D}}_A}{{\boldsymbol{D}}_A^{\rm{T}}}} \right) \otimes \left( {{\boldsymbol{\sigma}} _{\boldsymbol{p}}^2 \otimes {{\boldsymbol{D}}_S}{{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}{\boldsymbol{D}}_S^{\rm{T}}} \right) \\ \qquad \;\;= \left( {\frac{1}{2}{{\boldsymbol{D}}_A}{\boldsymbol{D}}_A^{\rm{T}}} \right) \otimes {{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{p}}} . \\ \end{gathered} $$ (10) 1.3 与RTK对比
首先对天线阵列RTK和RTK的数学模型进行对比. 在观测模型方面，根据式(4)和式(6)，两种模型的形式具有一致性，区别在于天线阵列RTK观测模型将更多观测值通过站间双差模糊度信息融合进行参数解算，增加双差方程的冗余度，提高了RTK的模型强度. 随机模型方面则根据观测模型的变化扩展了流动站和天线阵列间的差分矩阵.
本文使用LAMBDA算法进行模糊度固定，需要先求出参数浮点解. 天线阵列RTK和RTK通过与其对应的数学模型，根据最小二乘原理求得模糊度与基线向量的浮点解，篇幅限制未展示其推导过程. 表1展示了天线阵列RTK模型与RTK模型的参数浮点解公式.
表 1 天线阵列RTK模型与RTK模型参数浮点解公式模型 基线向量 模糊度向量 基线方差阵 模糊度方差阵 RTK模型 ${ {\boldsymbol{Q} }_{ {\boldsymbol{\hat b\hat b} } } }{ {\boldsymbol{G} }^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{p}}^{ - 1}{\boldsymbol{p} }$ ${ {\boldsymbol{\varLambda} } ^{ - 1} }\left( { {\boldsymbol{\phi} } - {\boldsymbol{G} }\hat {\boldsymbol{b} } } \right)$ ${\left( { { {\boldsymbol{G} }^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{p}}^{ - 1}{\boldsymbol{G} } } \right)^{ - 1} }$ ${ {\boldsymbol{\varLambda} }^{ - 1} }\left( { { {\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{\phi}} }{ { + } }{\boldsymbol{G} }{ {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{ {\boldsymbol{G} }^{\rm{T}}} } \right){ {\boldsymbol{\varLambda} } ^{ - 1} }$ 天线阵列RTK模型 ${ {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{\bar {\boldsymbol{G} } ^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{P}}^{ - 1}{\boldsymbol{P} }$ ${ {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat a\hat a}}} }{\bar {\boldsymbol{\varLambda} } ^{\rm{T}}}{\left( { { {\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{\varPhi}} } + \bar {\boldsymbol{G} } { {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{ {\bar {\boldsymbol{G} } }^{\rm{T}}} } \right)^{ - 1} }\left( { {\boldsymbol{\varPhi} } - \bar {\boldsymbol{G} } \hat {\boldsymbol{b} } } \right)$ ${\left( { { {\bar {\boldsymbol{G} } }^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{P}}^{ - 1}\bar {\boldsymbol{G} } } \right)^{ - 1} }$ ${\left( { { {\bar {\boldsymbol{\varLambda} } }^{\rm{T}}}{ {\left( { { {\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{\varPhi}} }{ { + } }\bar {\boldsymbol{G} } { {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{ {\bar {\boldsymbol{G} } }^{\rm{T}}} } \right)}^{ { { - } }1} }\bar {\boldsymbol{\varLambda} } } \right)^{ { { - } }1} }$ 结合表1中的公式可以推导出天线阵列RTK与RTK这两种模型的参数浮点解的关系为
$$ \left\{\begin{gathered} {{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}}}{{ = }}{\left( {2{\boldsymbol{e}}_n^{\rm{T}}{{\left( {{{\boldsymbol{D}}_A}{{\boldsymbol{D}}_A}^{\rm{T}}} \right)}^{ - 1}}{{\boldsymbol{e}}_n}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat b}}1{\boldsymbol{\hat b}}1}} \\ {{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat a\hat a}}}}{{ = }}{\left( {2{\boldsymbol{e}}_n^{\rm{T}}{{\left( {{{\boldsymbol{D}}_A}{{\boldsymbol{D}}_A}^{\rm{T}}} \right)}^{ - 1}}{{\boldsymbol{e}}_n}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat a}}1{\boldsymbol{\hat a}}1}} \\ \end{gathered}\right. . $$ (11) 式中：
${{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}}}$ 、${{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat a\hat a}}}}$ 分别为天线阵列RTK基线浮点解方差阵和模糊度浮点解方差阵；${{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat b}}1{\boldsymbol{\hat b}}1}}$ 、${{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat a}}1{\boldsymbol{\hat a}}1}}$ 为RTK对应的基线、模糊度浮点解方差阵. 因为${\left( {2{\boldsymbol{e}}_n^{\rm{T}}{{\left( {{{\boldsymbol{D}}_A}{{\boldsymbol{D}}_A}^{\rm{T}}} \right)}^{ - 1}}{{\boldsymbol{e}}_n}} \right)^{ - 1}} = \left( {n + 1} \right)/2n$ ，当$ n > 1 $ 时，$ \left( {n + 1} \right)/2n < 1 $ ，意味着同样的观测条件下天线阵列RTK能提高参数浮点解的精度.2. 实验分析
2.1 实验描述
实验目的为分析不同截止高度角下的单GPS、单BDS与GPS+BDS双系统组合的天线阵列RTK定位性能，双系统采用松组合的形式，其中单系统和双系统都采用常见的频率组合，分别为L1+L2、B1I+B3I. 实验使用澳大利亚科廷大学GNSS中心的四台Trimble NETR9接收机的观测数据进行定位实验，接收机天线为Trimble 59800，数据采样间隔为30 s. 图2为组成天线阵列的多台接收机分布情况，其中CUT00、CUTA0、CUTB0组成天线阵列，CUTC0视为流动站，其坐标待求；当用RTK解算时，CUT00为参考站，CUTC0为流动站. 分别使用天线阵列RTK模型与RTK模型进行解算，采用LAMBDA算法进行模糊度固定，比较模糊度固定后的坐标与已知坐标，当三维误差小于0.1 m且通过ratio检验则视为模糊度固定成功，其中ratio检验阈值设为2.
当截止高度角过大会导致一些历元的可用卫星数不能满足定位要求，本文对不同截止高度角下的解算率进行统计，解算率为满足定位要求的历元占所有历元的比例. 卫星单系统至少有4颗可用卫星，双系统组合不少于5颗且每个卫星系统的可用卫星不少于2颗才能获得单历元解. 当高度角小于20°时，BDS单系统和GPS单系统的解算率都是100%，因此截止高度角小于20°的解算率情况就不予列出. 从表2中看出，GPS单系统在截止高度角45°时有效历元仅为37.7%，但BDS和GPS+BDS组合仍能保持较为连续的定位；当截止高度角为50°时，BDS单系统的解算率为78.5%，有接近四分之一的历元解算失败，无法保持较连续定位. 当截止高度角大于55°时，BDS单系统只有12.5%的历元能满足定位需求，几乎完全丧失单独定位能力；GPS+BDS组合系统在截止高度角为50°时，其解算率大于99%. GPS+BDS组合系统在截止高度角为55°时，定位连续性锐减，截止高度角为60°时也完全丧失了连续定位的能力.
表 2 不同截止高度角下各卫星系统的解算率% 高度角/(°) GPS BDS GPS+BDS 20 100.0 100.0 100.0 25 96.7 100.0 100.0 30 93.3 100.0 100.0 35 83.7 100.0 100.0 40 64.4 98.6 100.0 45 37.7 85.3 100.0 50 17.6 78.5 99.1 55 - 12.5 47.0 60 - - 23.9 从图3与表3中可以看出，随着截止高度角的增加可视卫星数量减少，卫星空间几何结构变差，位置精度因子（PDOP）值变大. 当截高度角为40°时，实验中GPS单系统对应的PDOP均值大于20，平均可视卫星数量为3.8颗；而BDS单系统在截止高度角为40°时，平均可视卫星数有6.1颗，PDOP均值为6.9，相对于GPS单系统具有明显优势；GPS+BDS双系统组合与单系统相比，组合系统的可视卫星数增加，卫星的几何结构更好，PDOP均值在高度角为50°时为9.6，明显优于GPS单系统和BDS单系统.
表 3 不同截止高度角下各卫星系统PDOP均值与可视卫星数均值截止高度角/(°) 卫星数均值 PDOP均值 GPS BDS GPS+BDS GPS BDS GPS+BDS 10 8.4 9.5 17.9 2.0 2.8 1.4 20 6.6 9.1 15.7 3.7 3.2 1.9 30 5.1 7.9 13.0 6.8 4.3 2.7 40 3.8 6.1 10.0 25.3 6.9 4.3 50 2.6 4.2 6.8 89.9 22.8 9.6 为具体分析天线阵列对于RTK模型的增强，评估天线阵列RTK的性能，分别使用天线阵列RTK模型和RTK模型计算BDS单系统、GPS单系统、BDS+GPS三种情况下不同截止高度角的定位结果，并对两种模型所对应的模糊度衰减因子(ADOP)、模糊度固定成功率、浮点解、固定解进行分析.
2.2 模糊度固定分析
自举成功率
$P_{{s}, \mathrm{IB}}$ 计算简单，是整数最小二乘成功率的明显下限，能够用来分析整数最小二乘成功率. 图4中虚线代表的是天线阵列RTK模型，实线是RTK模型，可以看到，GPS单系统在高度角大于20°时，两种模型计算的自举成功率就有较为明显的差距，而BDS单系统在高度角大于40°、GPS+BDS在高度角大于45°时，自举成功率才有明显差距. 结合表3分析这可能是由于GPS单系统在高度角大于20°时，模型强度受卫星数减少的影响，逐渐不能维持较高的模糊度自举成功率，同理基于BDS单系统、GPS+BDS的RTK模型强度则分别在40°、45°时不能保证较高的自举成功率. 以上这种情况意味着随着截止高度角的变大，RTK模型在模糊度固定方面受到挑战，而天线阵列对模型的增强在一定程度上降低了模糊度固定的难度，在图4中表现为在较高的截止高度角下，天线阵列RTK的自举成功率高于RTK.表4对两种模型不同截止高度角下各个卫星系统的模糊度固定成功率进行分析. 当截止高度角为20°时，GPS单系统的天线阵列RTK模糊度固定成功率略高于RTK，与自举成功率分析的结果一致；当截止高度角为30°、35°、40°、45°时，相较于RTK，天线阵列RTK模糊度固定成功率分别从90.4%、84.8%、78%、70.8%提高至93.5%、90.3%、84.7%、78.2%，最多提高了7.4%. BDS单系统在截止高度角50°时，天线阵列RTK提高最多，为8%. 因为GPS+BDS组合的模型强度高于GPS、BDS单系统，能够较好地完成模糊度固定，所以在双系统组合定位时天线阵列对RTK的增益较小，模糊度固定成功率在截止高度角55°时提高最多，为4.9%.
表 4 天线阵列RTK与RTK在不同截止高度角下的模糊度固定成功率% 截止高
度角/(°)GPS BDS GPS+BDS RTK 天线阵
列RTKRTK 天线阵
列RTKRTK 天线阵
列RTK20 98.9 99.0 100 100 100 100 30 90.4 93.5 100 100 100 100 35 84.8 90.3 99.6 99.9 100 100 40 78.0 84.7 97.7 99.3 100 100 45 70.8 78.2 79.4 85.9 99.9 99.9 50 - - 77.7 85.7 89.6 93.6 55 - - - - 78.4 83.3 结合图4、表3和表4发现，在低截止高度角可用卫星数量充足的情况下，例如高度角为20°时RTK的模型强度能够保证较高的模糊度固定成功率，因此天线阵列RTK的优势不明显. 而由于截止高度角变大导致可视卫星减少，例如截止高度角由20°变为40°时，GPS单系统平均可视卫星数由6.6颗变为3.8颗，卫星空间构型强度变弱，GPS单系统的模糊度固定成功率迅速降低. 不过由于天线阵列RTK的模型强度高于RTK，即便其模型强度也随着卫星数减少而减弱，但模糊度固定成功率仍比RTK高6.7%. 而在50°的大截止高度角时，天线阵列RTK的模糊度固定成功率为93.6%，优于RTK的89.6% 的模糊度固定率. 表4的结果表明，在低高度角GNSS模型强度较高的情况下，天线阵列RTK模型与RTK模型的模糊度固定成功率没有太大差别，但在高截止高度角时，随着GNSS模型强度的减弱，天线阵列RTK模型的模糊度固定成功率明显优于RTK模型.
接下来通过ADOP值来解释天线阵列RTK提高模糊度固定成功率的原因. ADOP是一种能够衡量模糊度固定成功率且易于计算的标量因子，根据文献[5]，其定义为
$$ {\rm{ADOP}} = {\sqrt {\left| {{{\boldsymbol{Q}}_{{\boldsymbol{\hat a\hat a}}}}} \right|} ^{\frac{1}{q}}}. $$ (12) 式中：
$ q $ 是模糊度向量的维数；$ \left| \cdot \right| $ 是行列式运算符. 根据式(12)，模糊度浮点解精度越高ADOP值越小，而同样条件下天线阵列RTK模糊度浮点解精度高于RTK，所以其ADOP值小于RTK. 由于ADOP值与模糊度搜索空间的体积对应相关，意味着天线阵列RTK的模糊度搜索空间小于RTK，更有利于模糊度的搜索，并且ADOP值等价于降相关后模糊度标准差的几何平均值，所以天线阵列RTK的模糊度固定成功率高于RTK，不过天线阵列RTK能够提高模糊度浮点解精度才是提高模糊度固定成功率的根本原因.在图5中，蓝色曲线和红色曲线分别表示的是天线阵列RTK模型与RTK模型计算的ADOP值. 图5(a)、(b)、(c)反映了基于两种模型计算的不同截止高度角下不同卫星系统所有历元的ADOP均值，对比图5(a)和图5(b)发现，相同截止高度角下BDS的ADOP均值都小于GPS，当截止高度角大于30°时，BDS的ADOP值明显小于GPS. 结合表3分析，可能由于BDS的可视卫星数多于GPS，卫星几何结构更好. 图5(d)是在截止高度角30°时，GPS系统ADOP值的时间序列，其更加直观地展示了天线阵列RTK对ADOP值的减小.
2.3 定位精度分析
模糊度固定的最终目的是为了获得精密定位，并且由于GNSS信号常受到周围环境遮挡，设置不同截止高度角能在一定程度上模拟城市峡谷或者林荫道路环境，接下来对不同截止高度角下天线阵列RTK的定位性能进行评估.
由表5可以看出，相同截止高度角的情况下，与RTK相比，天线阵列RTK都能明显提高浮点解定位精度，其中当截止高度角为20°的GPS单系统精度提升最少，为8.7%，在截止高度角为30°的BDS单系统解算精度时提升最多，为27.1%.
图6展示了截止高度角20°和40°时两种模型固定解在水平、垂直方向上的偏差，图中红色、蓝色散点分别代表RTK与天线阵列RTK. 可以发现天线阵列RTK的定位精度更高，这是由于天线阵列RTK增加了双差模型的冗余度，提高了模型强度，而GPS+BDS的组合要优于GPS单系统或BDS单系统，这是由于双系统组合增加了卫星空间结构强度也提高了模型强度. 开阔环境下常将截止高度角设置为20°或小于20°，此时GPS单系统、BDS单系统、GPS+BDS的解算率都为100%，且模糊度固定成功率接近100%，结果连续稳定，满足厘米级的定位需求. 当高度角由20°增大到40°时，定位精度随之下降，GPS单系统的定位结果不连续，而BDS单系统与GPS+BDS仍能保持厘米级定位.
表 5 不同截止高度角下天线阵列RTK与RTK三维坐标RMSE卫星系统 截止高度角/(°) 浮点解坐标RMSE/m 固定解坐标RMSE/cm RTK 天线阵列RTK RTK 天线阵列RTK GPS单系统 20 1.73 1.58 1.00 0.85 30 2.71 2.37 1.54 1.34 40 4.07 3.61 2.38 2.20 50 - - - - BDS单系统 20 1.31 0.99 0.89 0.73 30 1.70 1.24 1.13 0.98 40 2.85 2.17 1.55 1.38 50 5.13 4.19 3.36 3.14 GPS+BDS 20 0.85 0.69 0.56 0.47 30 1.11 0.88 0.70 0.61 40 1.76 1.39 1.02 0.90 50 2.70 2.26 2.17 2.02 表6统计了更多截止高度角下东（E）、北（N）、天顶（U）三个方向上的定位误差，通过表2可知，GPS单系统在截止高度角为50°时，解算率仅为17.6%，不能进行有效定位，因此表6中未分析该情况的固定解. 经分析，无论是单系统还是组合系统，天线阵列RTK还是RTK，随着截止高度角的变化，均呈现出一定的规律和特点：首先在选取的截止高度角下，相同卫星系统下的天线阵列RTK在E、N、U方向上的RMSE都小于RTK，说明天线阵列RTK能够提高定位精度；特别是在截止高度为50°时，天线阵列RTK的E、N、U方向的固定解较于RTK分别提高了7.7%、11.7%、6.7%. 其次随着截止高度角变大，卫星数量下降，卫星的几何构型变差，在三个方向上固定解的RMSE均变大，但天线阵列RTK在50°截止高度角时，其固定解水平精度优于1 cm，高程精度优于2 cm，仍能满足高精度定位需求. 最后，结合表3中的PDOP数据，即在相同高度角的条件下，BDS单系统的定位精度要好于GPS单系统，这可能是由于本次实验中同一高度角的BDS可视卫星数要多于GPS单系统，BDS单系统的空间构型更好，同理，GPS+BDS双系统组合的卫星空间结构要好于单独任意一个系统.
表 6 不同截止高度角下天线阵列RTK与RTK固定解E、N、U方向上的RMSE卫星
系统截止高
度角/(°)RTK RMSE/cm 天线阵列RTK RMSE/cm E N U E N U GPS 20 0.25 0.30 0.93 0.22 0.26 0.78 30 0.43 0.38 1.43 0.39 0.34 1.24 40 0.56 0.48 2.27 0.54 0.44 2.09 50 - - - - - - BDS 20 0.25 0.26 0.82 0.20 0.22 0.67 30 0.27 0.29 1.05 0.23 0.25 0.93 40 0.33 0.35 1.47 0.28 0.30 1.32 50 0.76 0.73 3.19 0.68 0.68 2.99 GPS+BDS 20 0.16 0.17 0.50 0.14 0.15 0.42 30 0.18 0.19 0.65 0.16 0.16 0.56 40 0.23 0.22 0.96 0.20 0.19 0.85 50 0.52 0.34 2.08 0.48 0.30 1.94 3. 结束语
本文针对天线阵列RTK定位性能评估问题，对比了天线阵列RTK和RTK的数学模型，使用澳大利亚科廷大学GNSS中心的观测数据，主要分析了20°~50°截止高度角下GPS单系统、BDS单系统以及GPS+BDS的天线阵列RTK模糊度固定与定位性能，并通过与RTK定位结果对比得到以下结论：
1)天线阵列RTK能够在每个历元现有的卫星条件下，充分利用观测信息. 其关键技术是融合多个测站的伪距、载波相位观测值从而增加双差模型的冗余度，增加模型强度，进而提高模糊度固定成功率与定位精度.
2)天线阵列RTK的表现优于RTK. 当截止高度角较低时，天线阵列RTK在模糊度固定方面具有微弱优势，而对浮点解定位精度的提升较为明显. 例如单BDS在截止高度角为20°、30°定位时，相较于RTK，天线阵列RTK的浮点解定位精度分别提高了24.4%和27.1%，这对于只能使用浮点解的应用场景具有一定的研究价值.
3)在50°大截止高度角下，GPS单系统、BDS单系统的解算率分别为17.6%和78.5%，无法连续定位，而GPS+BDS双系统组合的解算率大于99%，在此条件下天线阵列RTK的模糊度固定率由RTK的89.6%提高至93.6%，单历元固定解在E、N、U方向上的精度分别提高了7.7%、11.7%和6.7%，并且其固定解的水平精度优于1 cm、高程精度优于2 cm，满足高精度定位的需求，因此天线阵列RTK提高了RTK在大截止高度角场景中(例如城市峡谷)的定位性能.
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表 1 天线阵列RTK模型与RTK模型参数浮点解公式
模型 基线向量 模糊度向量 基线方差阵 模糊度方差阵 RTK模型 ${ {\boldsymbol{Q} }_{ {\boldsymbol{\hat b\hat b} } } }{ {\boldsymbol{G} }^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{p}}^{ - 1}{\boldsymbol{p} }$ ${ {\boldsymbol{\varLambda} } ^{ - 1} }\left( { {\boldsymbol{\phi} } - {\boldsymbol{G} }\hat {\boldsymbol{b} } } \right)$ ${\left( { { {\boldsymbol{G} }^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{p}}^{ - 1}{\boldsymbol{G} } } \right)^{ - 1} }$ ${ {\boldsymbol{\varLambda} }^{ - 1} }\left( { { {\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{\phi}} }{ { + } }{\boldsymbol{G} }{ {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{ {\boldsymbol{G} }^{\rm{T}}} } \right){ {\boldsymbol{\varLambda} } ^{ - 1} }$ 天线阵列RTK模型 ${ {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{\bar {\boldsymbol{G} } ^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{P}}^{ - 1}{\boldsymbol{P} }$ ${ {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat a\hat a}}} }{\bar {\boldsymbol{\varLambda} } ^{\rm{T}}}{\left( { { {\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{\varPhi}} } + \bar {\boldsymbol{G} } { {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{ {\bar {\boldsymbol{G} } }^{\rm{T}}} } \right)^{ - 1} }\left( { {\boldsymbol{\varPhi} } - \bar {\boldsymbol{G} } \hat {\boldsymbol{b} } } \right)$ ${\left( { { {\bar {\boldsymbol{G} } }^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{P}}^{ - 1}\bar {\boldsymbol{G} } } \right)^{ - 1} }$ ${\left( { { {\bar {\boldsymbol{\varLambda} } }^{\rm{T}}}{ {\left( { { {\boldsymbol{Q} }_{\boldsymbol{\varPhi}} }{ { + } }\bar {\boldsymbol{G} } { {\boldsymbol{Q} }_{{\boldsymbol{\hat b\hat b}}} }{ {\bar {\boldsymbol{G} } }^{\rm{T}}} } \right)}^{ { { - } }1} }\bar {\boldsymbol{\varLambda} } } \right)^{ { { - } }1} }$ 
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表 2 不同截止高度角下各卫星系统的解算率
% 高度角/(°) GPS BDS GPS+BDS 20 100.0 100.0 100.0 25 96.7 100.0 100.0 30 93.3 100.0 100.0 35 83.7 100.0 100.0 40 64.4 98.6 100.0 45 37.7 85.3 100.0 50 17.6 78.5 99.1 55 - 12.5 47.0 60 - - 23.9
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表 3 不同截止高度角下各卫星系统PDOP均值与可视卫星数均值
截止高度角/(°) 卫星数均值 PDOP均值 GPS BDS GPS+BDS GPS BDS GPS+BDS 10 8.4 9.5 17.9 2.0 2.8 1.4 20 6.6 9.1 15.7 3.7 3.2 1.9 30 5.1 7.9 13.0 6.8 4.3 2.7 40 3.8 6.1 10.0 25.3 6.9 4.3 50 2.6 4.2 6.8 89.9 22.8 9.6
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表 4 天线阵列RTK与RTK在不同截止高度角下的模糊度固定成功率
% 截止高
度角/(°)GPS BDS GPS+BDS RTK 天线阵
列RTKRTK 天线阵
列RTKRTK 天线阵
列RTK20 98.9 99.0 100 100 100 100 30 90.4 93.5 100 100 100 100 35 84.8 90.3 99.6 99.9 100 100 40 78.0 84.7 97.7 99.3 100 100 45 70.8 78.2 79.4 85.9 99.9 99.9 50 - - 77.7 85.7 89.6 93.6 55 - - - - 78.4 83.3
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表 5 不同截止高度角下天线阵列RTK与RTK三维坐标RMSE
卫星系统 截止高度角/(°) 浮点解坐标RMSE/m 固定解坐标RMSE/cm RTK 天线阵列RTK RTK 天线阵列RTK GPS单系统 20 1.73 1.58 1.00 0.85 30 2.71 2.37 1.54 1.34 40 4.07 3.61 2.38 2.20 50 - - - - BDS单系统 20 1.31 0.99 0.89 0.73 30 1.70 1.24 1.13 0.98 40 2.85 2.17 1.55 1.38 50 5.13 4.19 3.36 3.14 GPS+BDS 20 0.85 0.69 0.56 0.47 30 1.11 0.88 0.70 0.61 40 1.76 1.39 1.02 0.90 50 2.70 2.26 2.17 2.02
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表 6 不同截止高度角下天线阵列RTK与RTK固定解E、N、U方向上的RMSE
卫星
系统截止高
度角/(°)RTK RMSE/cm 天线阵列RTK RMSE/cm E N U E N U GPS 20 0.25 0.30 0.93 0.22 0.26 0.78 30 0.43 0.38 1.43 0.39 0.34 1.24 40 0.56 0.48 2.27 0.54 0.44 2.09 50 - - - - - - BDS 20 0.25 0.26 0.82 0.20 0.22 0.67 30 0.27 0.29 1.05 0.23 0.25 0.93 40 0.33 0.35 1.47 0.28 0.30 1.32 50 0.76 0.73 3.19 0.68 0.68 2.99 GPS+BDS 20 0.16 0.17 0.50 0.14 0.15 0.42 30 0.18 0.19 0.65 0.16 0.16 0.56 40 0.23 0.22 0.96 0.20 0.19 0.85 50 0.52 0.34 2.08 0.48 0.30 1.94
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