Characteristic analysis of coordinate time series of tide gauge station
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摘要: 文中以298个验潮站作为研究对象，采用广义高斯-马尔科夫模型(GGM)、自回归滑动平均模型(ARMA)以及分形自回归聚合滑动平均模型(ARFIMA)三种模型，对验潮站坐标时间序列噪声模型特性及海平面变化趋势进行估计分析，并探讨了时间跨度对验潮站速度估计的影响. 实验结果表明：验潮站坐标时间序列主要呈现为ARFIMA(1,0)、ARFIMA(2,2)、ARMA (1,0) 噪声特性；验潮站速度估计结果表明64.77%的站点速度值所处区间为0～4 mm/a，平均海平面速度为1.25 mm/a，整体处于上升趋势. 随着时间跨度的增加，验潮站坐标序列速度不确定度逐渐由发散趋于收敛，大于110 a的时间跨度有助于获取稳健的验潮站速度估计值.
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关键词:
- 验潮站 /
- 时间序列 /
- 自回归滑动平均模型(ARMA) /
- 分形自回归聚合滑动平均模型(ARFIMA) /
- 时间跨度 /
- 速度
Abstract: In this paper, 298 tide gauge stations are used as the research object, and three models of generalized gauss markov (GGM) noise model, autoregressive moving average (ARMA) noise model and Autoregressive fractionally integrated moving average (ARFIMA) noise model are used to estimate the noise model characteristics of the coordinate time series of tide gauge stations and the trend of sea level changes. The influence of time span on the velocity estimation of tide gauge stations analyzed and discussed. The experimental results show that the noise characteristics of coordinate time series of tide gauge stations are mainly ARFIMA(1,0), ARFIMA(2,2), ARMA (1,0); the velocity estimation results of tide gauge stations show that 64.77% of the station velocity values are in the interval of 0 mm/a to 4 mm/a, and the average sea level velocity is 1.25 mm/a, which is on an upward trend. As the time span increases, the velocity uncertainty of the coordinate sequence, of the tide gauge stations, gradually tends to converge from divergence, and a time span more than 110 a helps to obtain a robust estimate of the tide gauge station velocity. -
0. 引 言
验潮站坐标时间序列被广泛应用于海平面变化、潮汐模型的建立及海洋垂直基准建立等科学研究和工程建设[1-2]. 利用验潮站坐标时间序列反演海平面变化速度，对于气候变化、海洋灾害、海岸带建设具有重大意义[3-5]. 如何获取精确的海平面速度值已成为时下的研究热点. 文献[6]结合越南沿岸13个验潮站和卫星测高数据分析发现，越南近海海平面出现较强的季节性特征，表现出南高北低的情况，在1993—2015年间越南近海整体上升速度为3.18 mm/a，沿岸验潮站海平面上升速度达到4.10 mm/a. 文献[7]采用奇异谱分析+自回归滑动平均（ARMA）模型对日本近海海平面变化及地壳垂直变化进行预测，发现组合模型计算结果准确度更高. 验潮站坐标时间序列中的噪声模型选用不当，会造成速度及不确定度的有偏估计[8]. 常选用一阶与五阶自回归模型（AR）作为噪声模型以降低其偏差[9-10]. 文献[11]使用Hector软件对全球589个验潮站的坐标序列进行噪声模型估计，结果表明验潮站的最优噪声模型除AR模型外，还有分形自回归聚合滑动平均模型(ARFIMA)和高斯-马尔科夫模型(GGM）. 此外，AR模型实际上是ARMA模型的特殊情况，采用ARMA模型能够更精细的表征验潮站坐标序列的噪声模型[12].
基于此，本文在文献[11]的基础上，提出采用不同阶数的ARMA、ARFIMA及GGM模型，利用贝叶斯信息量（BIC）准则对全球范围内298个验潮站坐标序列进行参数估计，从而对验潮站坐标时间序列噪声模型特性，以及海平面变化趋势进行分析. 最后，以长周期观测站点不同时间跨度的速度年平均变化量，探讨时间跨度对于速度估计的影响.
1. 噪声模型与速度估计方法
1.1 最优噪声模型估计准则
传统的极大似然估计方法(MLE)可估计噪声类型、测站速度等参数，但当未知参数过多，即噪声模型逐渐复杂化时，会出现有偏估计[13]. 因此，文中选用BIC准则估计最优噪声模型，其原理[14-15]如下：
$${\rm{BIC}} = - 2\;{\rm{ln}}\left( L \right) + k\;{\rm{ln}}\left( n \right).$$ (1) 式中：L为似然函数；
$k$ 为所拟合噪声模型中参数数量；$n$ 为观测值数目. 考虑到验潮站坐标时间序列噪声的复杂性，选取ARMA、AMFIMA及GGM三种噪声模型，利用BIC准则进行最优噪声估计. 若BIC值越小，则表明所选取的模型越接近最优模型.1.2 验潮站速度估计模型
噪声模型辨识是影响测站速度不确定度估计的重要因素. 利用线性回归法对验潮站速度进行拟合估计，噪声模型对速度的准确估计[16-17]如下所示：
$$ {m}_{\upsilon }\approx \sqrt{\frac{{A}_{\rm{PL}}^{\rm{2}}}{\Delta {T}^{2-\frac{\kappa }{2}}}\times \frac{\tau (3-\kappa )\times (4-\kappa )\times {(N-1)}^{\kappa -3}}{{\left[\tau \left(2-\displaystyle\frac{\kappa }{2}\right)\right]}^{2}}}.$$ (2) 式中：
$N$ 为观测值序列长度；$\kappa $ 为估计谱指数；$\Delta T$ 为采样率；${A_{{\rm{PL}}}}$ 为噪声振幅；$\tau $ 为伽玛函数.2. 验潮站坐标时间序列特性分析
选取在全球范围内的298个数据缺失率低且时间跨度长的验潮站进行实验分析，观测数据来自平均海平面永久服务网站[18]. 验潮站数据缺失率最大不超过10%，平均缺失率为2.33%，统计结果如图1所示. 时间跨度最短为30 a，最长为170.5 a，平均跨度为66 a. 如图2所示. 在所选站点中，66.44%的站点时间跨度所处区间在30～70 a.
2.1 验潮站最优噪声模型估计
对所选的298个验潮站按GGM、ARMA和ARFIMA三种噪声模型进行最优模型估计，按上述BIC准则进行最佳模型判断. 考虑到在ARMA和ARFIMA模型中设置合适的自回归模型阶数p与滑动平均模型阶数q可以获得更精确的噪声于速度估计结果. 因此在ARMA和ARFIMA模型中分别选用1≤p≤5，0≤q≤5 （ p，q取整数）各30种模型进行最优噪声模型估计. 最优模型估计结果如表1所示. 由表1分析可知，验潮站时间序列噪声模型具有一定的多样性，其中主要表现为ARFIMA模型特性，部分为ARMA模型特性，而GGM 模型特性占比仅为1.34%.
表 1 最优噪声模型估计结果模型 测站数 占比/% ARFIMA 190 63.76 ARMA 104 34.90 GGM 4 1.34 选取不同阶数的ARMA（p, q）与ARFIMA（p, q）模型估计结果如表2与表3所示. 由表中结果可得，在ARFIMA模型中，最优噪声模型主要集中在p=1和p=2的低阶项，分别占比为43%和45%，其中 ARFIMA（1,0）和ARFIMA（2,2）在低阶模型中占比最高.
表 2 不同阶数ARFIMA模型估计结果噪声模型 站点数 噪声模型 站点数 ARFIMA(1,0) 72 ARFIMA(3,3) 7 ARFIMA(1,1) 9 ARFIMA(3,4) 2 ARFIMA(1,2) 1 ARFIMA(3,5) 1 ARFIMA(1,3) 0 ARFIMA(4,0) 0 ARFIMA(1,4) 0 ARFIMA(4,1) 0 ARFIMA(1,5) 0 ARFIMA(4,2) 6 ARFIMA(2,0) 0 ARFIMA(4,3) 0 ARFIMA(2,1) 0 ARFIMA(4,4) 0 ARFIMA(2,2) 58 ARFIMA(4,5) 1 ARFIMA(2,3) 21 ARFIMA(5,0) 0 ARFIMA(2,4) 5 ARFIMA(5,1) 0 ARFIMA(2,5) 0 ARFIMA(5,2) 4 ARFIMA(3,0) 3 ARFIMA(5,3) 0 ARFIMA(3,1) 0 ARFIMA(5,4) 0 ARFIMA(3,2) 0 ARFIMA(5,5) 0 表 3 不同阶数ARMA模型估计结果噪声模型 站点数 噪声模型 站点数 ARMA(1,0) 44 ARMA(3,3) 0 ARMA(1,1) 9 ARMA(3,4) 3 ARMA(1,2) 4 ARMA(3,5) 0 ARMA(1,3) 0 ARMA(4,0) 2 ARMA(1,4) 0 ARMA(4,1) 0 ARMA(1,5) 0 ARMA(4,2) 0 ARMA(2,0) 5 ARMA(4,3) 3 ARMA(2,1) 0 ARMA(4,4) 1 ARMA(2,2) 1 ARMA(4,5) 0 ARMA(2,3) 5 ARMA(5,0) 0 ARMA(2,4) 3 ARMA(5,1) 0 ARMA(2,5) 2 ARMA(5,2) 2 ARMA(3,0) 1 ARMA(5,3) 0 ARMA(3,1) 0 ARMA(5,4) 0 ARMA(3,2) 19 ARMA(5,5) 0 在ARMA模型中，同样是低阶项占比较高，最优参数模型为ARMA（1,0），占总数的42.31%. ARMA模型与ARFIMA 模型分布不同，p=3的占比达22%. 而具体表现为ARMA（3,2）模型特性的站点较多，符合ARFIMA模型或ARMA模型特点的站点主要集中在1～3阶.
综上所述，可得：1) 验潮站时间序列主要表现为ARFIMA和ARMA模型特性，其中ARFIMA模型占比更高；2) 而在不同阶的ARFIMA和ARMA噪声模型中，噪声模型主要表现为ARFIMA(1,0)、ARFIMA(2,2)、ARMA (1,0) 3种低阶模型.
2.2 验潮站速度分析
验潮站站点主要分布于欧洲、北美东部和西北部、俄罗斯北部、中国东南部以及日本沿海地区，速度估计与统计结果分别如图3与图4所示. 在所选验潮站中，速度变化差异较为明显，主要集中在0～4 mm/a区间内，占所有站点数的64.77%. 其中，验潮站上升速度最大的是位于日本的KAMAISI II站，达到9.14 mm/a，下降速度最大的是位于美国的KODIAK ISLAND站，达到−9.22 mm/a.
在欧洲北部出现大量站点速度值为负的情况，且越靠近波的尼亚湾区域验潮站速度越大. 该情况可能的原因是该水域沿岸地区水表层会出现由北向南的水输送，而从奥兰海回流到波的尼亚湾的深层水团需要超过8个月的时间，导致该地区海平面长期处于下降趋势[19].
日本地区海域附近出现海平面上升和下降速度均超过5 mm/a的站点，与文献[7]中的计算结果相一致. 主要原因是日本地区地壳运动频繁，因此东北部沿岸地区的地面垂直变化速度远大于海平面变化速度，导致该地区的海平面比其他区域上升更快，而西南部正好相反，地壳垂直变化小于海平面变化速度，因此才形成北高南低的海平面现象.
由此可以得出：地壳的变化对海平面变化具有一定的影响，但总体来看，验潮站速度分布依然具有一定的规律性，低纬度地区验潮站普遍处于上升趋势，在靠近30°N的地区出现验潮站上升速度超过5 mm/a的站点，而表现出验潮站速度负增长趋势的站点，集中分布在60°N地区，海平面整体处于上升趋势.
2.3 时间跨度对噪声模型估计的影响
时间跨度对于时间序列的噪声模型存在一定的影响. 基于此，选取不同时间跨度区间内验潮站对其噪声模型占比进行统计，如表4所示.
表 4 各噪声分量占比时间跨度/a 测站数 ARMA/% ARFIMA/% GGM/% 30～50 115 40.0 58.3 1.7 >70 100 32.0 66.0 2.0 由表4可得，在长时间序列下，ARFIMA模型的比重上升，ARMA模型比重下降，GGM模型变化不大，表明ARFIMA模型对于长跨度时间序列具有更好的适用性.
2.4 时间跨度对验潮站速度影响分析
已有研究表明时间跨度对于验潮站速度估计会产生显著影响[20]. 本文选取时间跨度大于150 a的9个站点，采用50 a、70 a、90 a、100 a、110 a、120 a、130 a、140 a、150 a总计9种时间跨度进行速度分析，速度估计结果如图5所示. 对图5进行分析可得，验潮站一般在最短时间跨度，即50 a时速度值达到最大，而在此时间跨度中，所测站点中速度最大为图5（f） HOEK VAN HOLLAND站，达到2.758 mm/a，最小的则为图5（a） SWINOUJSCIE站，速度为1.706 mm/a. 随时间跨度的增加，站速度值逐渐趋于平稳，在150 a时验潮站速度减少到一个较低的数值. 在这个时间跨度中验潮站速度最大的是图5（f） HOEK VAN HOLLAND站，速度为2.339 mm/a，最小的是图5（a） SWINOUJSCIE站，速度为1.188 mm/a；以折线图的变化趋势进行分析，时间跨度对验潮站速度的影响较大，5个站点都会在时间跨50～70 a中速度发生大幅度下降，而随后下降速度开始变缓，并且在时间跨度为110 a左右逐渐趋于平稳.
考虑到150 a以上观测站点较少，为获得更稳健的时间跨度估计尺度. 选取时间跨度大于110 a的22个站点进行分析，以各个时间跨度所对应的速度值作差，定量反映不同时间跨度对速度值造成的影响，差值结果如表5所示.
由表5中结果可得，平均速度变化量最大的是 50 a与70 a，平均变化量达0.6191 mm/a，远超70 a与90 a时间段内的年平均变化量，表明在该时间跨度内验潮站速度的变化十分剧烈. 由此可见，随着时间跨度的增加，验潮站速度逐渐会由发散趋于平稳，与前述的9个站点结果具有一致性. 同样计算时间跨度大于150 a的9个站点速度值的年平均变化量，结果如表6所示.
表 5 不同时间跨度速度变化值时间跨度/a 平均变化量/（mm·a−1） 50～70 0.6191 70～90 0.1674 90～110 0.1500 表 6 不同时间跨度速度变化量时间跨度/a 平均变化量/（mm·a−1） 50～70 0.2819 70～110 0.2706 110～150 0.0770 50～150 0.5301 在110 a和150 a时间段内，验潮站速度平均年变化量仅为0.077 mm/a，相较于70 a与110 a时间段速度变化量依然有较大幅度的下降，表明验潮站速度值已经趋于平稳. 基于此，验潮站速度在长时间跨度的条件下估算值会更加稳定，在采用验潮站坐标时间序列进行高精度地球物理应用研究时，尤其是在速度方面，应重视时间跨度对速度的影响，且尽量采用时间跨度大于110 a的站点来进行分析.
3. 结束语
文中以全球298个验潮站点为研究对象，采用GGM、ARMA和ARFIMA三种模型探讨验潮站坐标时间序列特性，得出以下结论：
1）文中所选298个验潮站中时间序列跨度主要在30～70 a内，占比66.44%. 各站点最优估计模型主要表现为ARFIMA和ARMA模型，又以ARFIMA（1,0）、ARFIMA（2,2）和ARMA（1,0）三种低阶模型的站点占比最高.
2）在验潮站时间序列速度估计中，上升速度最大的是位于日本的KAMAISI II站，达到9.14 mm/a，下降速度最大的是位于美国的KODIAK ISLAND站，达到−9.22 mm/a，速度值主要集中于0～4 mm/a区间内，占所有站点数的64.77%，平均海平面速度为1.25 mm/a，整体处于上升趋势. 并且验潮站速度分布具有一定的规律性，低纬度地区速度普遍上升，速度负增长站点主要分布于60°N地区.
3）通过计算长时间跨度站点的速度年平均变化量，表明时间跨度对验潮站速度估计有较大影响. 随着时间跨度的增加，验潮站速度与年均变化量皆逐渐减小. 当时间跨度达到110 a后，速度值逐渐趋于平稳，可得110 a是较为理想的速度估计尺度. 同时，验潮站速度的多方面影响因素有待进一步研究.
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表 2 不同阶数ARFIMA模型估计结果
噪声模型 站点数 噪声模型 站点数 ARFIMA(1,0) 72 ARFIMA(3,3) 7 ARFIMA(1,1) 9 ARFIMA(3,4) 2 ARFIMA(1,2) 1 ARFIMA(3,5) 1 ARFIMA(1,3) 0 ARFIMA(4,0) 0 ARFIMA(1,4) 0 ARFIMA(4,1) 0 ARFIMA(1,5) 0 ARFIMA(4,2) 6 ARFIMA(2,0) 0 ARFIMA(4,3) 0 ARFIMA(2,1) 0 ARFIMA(4,4) 0 ARFIMA(2,2) 58 ARFIMA(4,5) 1 ARFIMA(2,3) 21 ARFIMA(5,0) 0 ARFIMA(2,4) 5 ARFIMA(5,1) 0 ARFIMA(2,5) 0 ARFIMA(5,2) 4 ARFIMA(3,0) 3 ARFIMA(5,3) 0 ARFIMA(3,1) 0 ARFIMA(5,4) 0 ARFIMA(3,2) 0 ARFIMA(5,5) 0 
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表 3 不同阶数ARMA模型估计结果
噪声模型 站点数 噪声模型 站点数 ARMA(1,0) 44 ARMA(3,3) 0 ARMA(1,1) 9 ARMA(3,4) 3 ARMA(1,2) 4 ARMA(3,5) 0 ARMA(1,3) 0 ARMA(4,0) 2 ARMA(1,4) 0 ARMA(4,1) 0 ARMA(1,5) 0 ARMA(4,2) 0 ARMA(2,0) 5 ARMA(4,3) 3 ARMA(2,1) 0 ARMA(4,4) 1 ARMA(2,2) 1 ARMA(4,5) 0 ARMA(2,3) 5 ARMA(5,0) 0 ARMA(2,4) 3 ARMA(5,1) 0 ARMA(2,5) 2 ARMA(5,2) 2 ARMA(3,0) 1 ARMA(5,3) 0 ARMA(3,1) 0 ARMA(5,4) 0 ARMA(3,2) 19 ARMA(5,5) 0
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