Research on short-term clock bias prediction of BeiDou satellite based on optimized residual difference combination
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摘要: 为解决传统模型因使用卫星钟差一次差分序列而导致预报精度差的问题，进一步提升预报精度，提出一种优化残差组合对卫星钟差一次差分序列进行预报的方法. 该方法首先根据北斗卫星钟差序列的特点，利用四分位法(IQR)代替中位数法对一次差分序列进行预处理，然后利用自回归滑动平均模型(ARMA)将经过预处理后的卫星钟差一次差分序列分成趋势项和残差随机项，接着利用极限学习机(ELM)模型对残差部分进行建模预测，最后将ARMA模型的预测结果和ELM神经网络的残差预测结果求和后进行差分还原. 结果表明：当卫星钟差呈非线性时，组合模型的预报精度比传统模型提升了38.2%，在北斗卫星钟差短期预报中具有一定的可行性.
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关键词:
- 北斗卫星钟差预报 /
- 自回归滑动平均模型(ARMA) /
- 极限学习机(ELM) /
- 组合模型
Abstract: In order to solve the problem of poor prediction accuracy caused by the traditional model using the satellite clock bias primary difference sequence and further improve the prediction accuracy, an optimized residual combination is proposed to forecast the satellite clock bias primary difference sequence. This method firstly according to the characteristics of the beidou satellite clock bias sequence, using quarterback method instead of the median method of time difference sequence preprocessing, and then using autoregressive moving average (ARMA) model after preprocessing the satellite clock bias of a differential sequence is divided into trend item and random item residual, then using the extreme learning machine (ELM) model to simulate the residual part modeling prediction, Finally, the prediction results of ARMA model and residual prediction results of ELM neural network are summed and then differentially restored. The results show that when the satellite clock bias is nonlinear, the prediction accuracy of the combined model is 38.2% higher than that of the traditional model, which has certain feasibility in the short-term prediction of the BeiDou satellite clock bias. -
0. 引 言
随着我国北斗卫星导航系统(BDS)率先在国际上提供精密单点定位(PPP)星上服务，如何让BDS提供更加精准的服务变成了当下的热门研究. 而可靠的卫星钟差短期预报结果将极大地提升PPP的精度，能够推动实时精密单点定位(RT-PPP)技术的研究[1].
在卫星钟差预报方面，国内外学者已经做了大量工作，对卫星钟差预报提出了若干钟差预报模型. 其中，灰度预测模型(GM(1,1))、二次多项式预测(QP)模型和自回归滑动平均模型(ARMA)是比较常用的卫星钟差预报模型[2-3]. (GM(1,1))模型和QP模型建模简单，ARMA模型能很好地反映数据间的相关性，因此这几种常用模型已经被广泛应用于测绘导航之中. 但上述方法仅仅是对卫星的原始钟差进行的研究，王宇谱等[4]研究表明使用钟差一次差分序列可以有效降低预报误差，提升预报精度. 然而，经过一次差分后的序列呈非线性，多项式模型不适用于非线性数据的建模；(GM(1,1))模型受发展系数和灰作用量影响较大，对非线性序列预报效果也不理想；ARMA模型虽然在钟差预报中显示出优良的特性，但在拟合模型参数时，模型的识别和定阶的不准可能会影响ARMA预报精度[5]. 针对这些问题，王润等[6]利用Elman神经网络对卫星钟差一次差分的序列进行建模预报，取得了一定的效果. 然而，传统的神经网络由于使用梯度算法，容易导致局部最小而影响预报精度. 极限学习机(ELM)与传统的神经网络模型相比，泛化能力更强，并且能够解决传统基于梯度算法的神经网络模型易陷入局部最小、需要合适的学习率等问题[7].
在这些研究的基础上，本文提出一种利用一次差分数据优化残差组合预测模型，并与使用钟差一次差分的传统模型的预测效果进行比较，探究组合方法的性能.
1. 单一预测模型
1.1 ARMA模型
ARMA模型是一种被广泛应用于钟差预报领域的线性平稳时间序列模型，模型公式为
$$ \begin{array}{c}e\left(t\right)=c+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{p}{\alpha }_{i}e\left(t-i\right)+{\varepsilon }_{t}+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q}{\theta }_{i}{\varepsilon }{(t-i)}.\end{array} $$ (1) 式中：
$ e\left(t\right) $ 为被预测变量；$ e\left(t-i\right) $ 为与被预测变量相关的滞后阶；$ c $ 为常数项；$ {\varepsilon }_{t} $ 为白噪声(WN)序列，服从均值为0的正态分布；$ {\alpha }_{i} $ 为自相关系数(i=1，2，3，···，q)；p，q分别为自回归和移动平均中的滞后阶.p，q参数的选取对ARMA模型的拟合效果至关重要，若参数选取不当，则会导致模型精度降低. 当训练钟差样本N固定时，使赤池信息量准则(AIC)达到最小值的(p，q)就是最佳组合参数，AIC的定义为
$$ \begin{array}{c}{\rm{AIC}}=-2\mathrm{ln}\left(L\right)+2N.\end{array} $$ (2) 式中：N为卫星钟差样本个数；
$ L $ 为似然函数.1.2 ElM模型
ELM模型是一种基于单隐层的前向神经网络模型. 通过随机搜索或人为给定的方式，确定输入层的权值和隐含层的偏置，再利用广义逆矩阵理论计算输出层权值，并根据此权值计算出模型的预测值[8]. 其拓扑结构如图1所示.
图1中，
${{\boldsymbol{x}}}_{j} \in {R}^{n},j=1,2,\cdots,{N}$ 为$ N $ 个样本组成的样本空间；${{\boldsymbol{a}}}_{i}=\left[{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{N}\right]$ 为输入权值；${{\boldsymbol{b}}}_{i}$ 为隐含层节点的偏置；$\;{{\boldsymbol{\beta}} }_{i}$ 为隐含层到输出层的权重；${{\boldsymbol{O}}}_{j}$ 为模型输出. 由图1可知，一个具有$ L $ 个隐含节点的ELM模型可表示为$$ \begin{array}{c}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{L}{{\boldsymbol{\beta}} }_{i}g\left({{\boldsymbol{a}}}_{i}{{\boldsymbol{x}}}_{j}+{{\boldsymbol{b}}}_{i}\right)={{\boldsymbol{O}}}_{j},j=1,\cdots ,N.\end{array} $$ (3) 式中，
$ g\left(x\right) $ 为激活函数. 当网络模型能够零误差逼近输出样本矩阵$ {{\boldsymbol{T}}}_{m}=\left[{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{m}\right]\in {R}^{m} $ 时，即$$ \begin{array}{c}\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{N}||{{\boldsymbol{O}}}_{j}-{{\boldsymbol{t}}}_{j}||=0,j=1,\cdots ,N.\end{array} $$ (4) 此时模型就能表示为
$$ \begin{array}{c}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{L}{{\boldsymbol{\beta}} }_{i}g\left({{\boldsymbol{a}}}_{i}{{\boldsymbol{x}}}_{j}+{{\boldsymbol{b}}}_{i}\right)={{\boldsymbol{t}}}_{j},j=1,\cdots ,N.\end{array} $$ (5) 公式(5)可以简化为
$$ \begin{array}{c}{\boldsymbol{H}}{\boldsymbol{\beta}} ={\boldsymbol{T}}.\end{array} $$ (6) 式中，
$\boldsymbol{H}$ 为隐藏层输出矩阵. 这时式(6)可看作寻找线性系统的最小二乘解，由广义逆理论可得其解为$$ \begin{array}{c}\widehat{{\boldsymbol{\beta}} }={\boldsymbol{H}}^+{\boldsymbol{T}}.\end{array} $$ (7) 式中，
$ {\boldsymbol{H}}^{+} $ 为$ \boldsymbol{H} $ 的广义逆矩阵.2. 一次差分优化残差组合模型
2.1 钟差的一次差处理及预处理
对于同一颗卫星的钟差数据而言，相邻历元在无钟跳和粗差的情况下变化量较小，从整体上说呈线性趋势. 然而，由于ELM神经网络中非线性激活函数的影响，导致其对未作差分处理的钟差序列预报能力可能不及传统模型[9]. 因此本文中使用钟差的一次差分序列作为样本，而要使用一次差分序列，对钟差的预处理是十分有必要的. 文献[10]提出了利用中位数探测(MAD)方法处理北斗卫星钟差一次差分后的差分序列，并使用GM(1,1)与ARMA模型组合进行预测的方法，取得了一定的效果. 然而，由于北斗卫星钟差数据存在数据质量较低、粗差较多尤其是存在较多微小的跳变等问题，并且同时由于MAD法对粗差大小不敏感，且存在参数设置问题，会导致MAD法的粗差探测效果不佳，容易漏过许多较小的粗差和跳变. 文献[11]表明在GPS原始时间序列的粗差剔除中，四分位法(IQR)对粗差的探测效果要优于MAD法. 故本文将利用四分位法和拉格朗日插值法对北斗卫星钟差一次差分数据进行预处理，然后使用经过预处理后的北斗卫星钟差一次差分数据.
一次差分原理如下：设
$X=\left\{x\left(1\right),x\left(2\right),\cdots,x\left(n-1\right)\right\}$ 为一组n维的卫星钟差序列，将卫星钟差数据进行历元间差分，可以得到一组未作预处理的一次差分序列：$$ \begin{array}{c}\Delta X=\left\{\Delta x\left(1\right),\Delta x\left(2\right),\cdots,\Delta x\left(n-1\right)\right\}\end{array}, $$ (8) $$ \begin{array}{c}\Delta x\left(n-1\right)=x\left(n\right)-x\left(n-1\right),n\geqslant 2.\end{array} $$ (9) 对一次差分序列进行预处理后，可以得到经过预处理后的一次差分序列
$$ \begin{array}{c}\Delta X{'}=\left\{\Delta x{'}\left(1\right),\Delta x{'}\left(2\right),\cdots,\Delta x{'}\left(n-1\right)\right\}\end{array}. $$ (10) 2.2 一次差分优化残差组合模型
平稳时间序列一般可以通过下式表示[12]：
$$ \begin{array}{c}{P}_{t}={L}_{t}+{R}_{t}.\end{array} $$ (11) 式中：
$ {L}_{t} $ 为趋势项；$ {R}_{t} $ 为残差随机项. 经过一次差分的卫星钟差序列也存在趋势项和残差随机项，将ARMA模型对卫星钟差序列拟合预测的结果作为趋势项进行提取，并与ELM模型优良的构建非线性映射能力相结合，即组成一次差分优化残差组合模型，理论上可以提升模型的预测效果. 一次差分优化残差组合模型原理如图2所示.具体流程为：
1)对原始一次差分序列做预处理，采用IQR法进行粗差检测并剔除粗差，得到预处理后的序列
$\left\{\Delta x{'}\left(1\right),\Delta x{'}\left(2\right),\cdots,\Delta x{'}\left(n-1\right)\right\}$ .2)利用ARMA模型对序列进行建模，得到建模序列
$\left\{\Delta {x}_{A}{'}\left(1\right),\Delta {x}_{A}{'}\left(2\right),\cdots,\Delta {x}_{A}{'}\left(n-1\right)\right\}$ ，并与预处理后的序列作差，得到残差序列：$$ \begin{array}{c}\Delta {X}_{D}'=\left\{\Delta {x}_{D}'\left(1\right),\Delta {x}_{D}'\left(2\right),\cdots,\Delta {x}_{D}'(n-1)\right\},\end{array} $$ (12) $$ \begin{array}{c}\Delta {X}_{D}'\left(i\right)=\Delta {x}'\left(i\right)-\Delta {x}_{A}{{'}}\left(i\right),i\in {\text {int}}[1,n-1].\end{array} $$ (13) 3)利用ELM神经网络对残差序列
$\Delta {{{X}}}_{D}'$ 进行建模，并向外预报m个历元，得到ELM神经网络拟合残差预测序列$\Delta {X}_{E}'=\left\{\Delta {x}_{E}'\left(n\right),\Delta {x}_{E}'\left(n+1\right),\cdots, \Delta {x}_{E}' (n+ m-1)\right\}$ .4)将拟合残差预测序列与ARMA预测序列
$\Delta {X}_{A}'=\left\{\Delta {x}_{A}'\left(n\right),\Delta {x}_{A}'\left(n+1\right),\cdots,\Delta {x}_{A}'(n+m-1)\right\}$ 相加，得到组合模型预报结果：$$ \begin{array}{c}\Delta X{'}{'}=\left\{\Delta x{'}{'}\left(n\right),\Delta x{'}{'}\left(n+1\right),\cdots,\Delta x{'}{'}(n+m-1)\right\},\end{array} $$ (14) $$ \begin{array}{c}\Delta {X}{{'}{'}}\left(i\right)=\Delta {X}_{A}'\left(i\right)+\Delta {X}_{E}'\left(i\right),i\in {\rm{int}}[n,n+m-1].\end{array} $$ (15) 5)利用一次差分还原公式将组合模型预报结果进行差分还原，得到一次差分优化残差组合预测结果，即最终预测结果，差分还原的公式为
$$ \begin{array}{c}X\left(k\right)=X\left(n-1\right)+\displaystyle\sum _{k=n}^{n+m-1}\Delta {X}{{'}{'}}\left(k\right).\end{array} $$ (16) 式中：
$ X\left(k\right) $ 为第$ k $ 个历元的预报值；$ X\left(n-1\right) $ 为原始钟差序列的最后一个钟差值；$\Delta X''\left(k\right)$ 为一次差分优化残差组合预测值.3. 实验结果与分析
为了探究一次差分优化残差组合模型在北斗卫星钟差短期预报的效果，本文使用了2022-03-16来源于武汉大学IGS数据中心提供的共24 h事后精密钟差数据，采样间隔为30 s. 并选取同在中轨道地球卫星(MEO)轨道的三颗搭载不同类型原子钟的北斗三号(BDS-3)卫星C20(RAFS)、C23(RAFS)和C28(PHM)前12 h作为建模数据进行建模，三颗卫星原始相位如图3所示.
3.1 数据预处理和模型构建
由于卫星钟差的原始数据通常因为卫星钟漂或者随机噪声，不可避免地会产生一定的系统误差，当系统误差过大时，数据就会出现突兀点和缺失点，不适合直接当作建模数据进行建模分析，因此，对数据的预处理是十分重要的. 对一次差分后的频率数据进行粗差探测剔除可减少误差影响，从而提高预报精度. 根据之前的讨论，本文采用IQR进行粗差检测，并与中位数探测法进行比较，IQR具体公式如下：
$$ \begin{array}{c}C=\displaystyle\frac{x-M}{0.7413{\rm{IQR}}},\end{array} $$ (17) $$ \begin{array}{c}{\rm{IQR}}={Q}_{1}-{Q}_{2}.\end{array} $$ (18) 式中：
$ C $ 为判定系数；$ x $ 为钟差的频率数据；$ M $ 为中位数；$ {Q}_{1} $ 和$ {Q}_{2} $ 分别为第25百分数和第75百分数. 当$\left|C\right|\leqslant 2$ 时，表示数据是十分优质的；当$\left|C\right|\geqslant 3$ 时表示为异常结果，即存在问题数据，本文将$ \left|C\right| < 3 $ 作为正常数据的标准，以C20号卫星的数据为例，实验结果如图3~5所示.由图3(a)和图4可知，原始相位中存在着肉眼观测不到的粗差，将相位数据转换成频率数据后，粗差将变得十分明显，这时采用合适的粗差探测手段可以实现粗差的探测与剔除.
由图5可知，MAD法会漏过一些微小的跳变，导致探测效果不佳，从而影响模型预测精度. 与MAD法相比，IQR探测效果更好，对微小跳变更为敏感，更适合对质量数据欠佳的北斗卫星钟差数据进行粗差检测. 利用IQR对数据进行粗差检测，并确定粗差发生的位置后. 可以先将粗差处的数据置0，再利用拉格朗日插值法对数据进行插值处理，完成对粗差的剔除.
ARMA模型参数组合的选取和ELM神经网络隐含层神经元网络个数的确定是进行卫星钟差预报实验中极其重要的一环，本文实验中ARMA模型参数组合如表1所示，ELM神经网络输入层设置为6，输出层设置为1，隐含层一般为[2,10]范围内的常数，具体根据实验确定，本文结构为6-2-1，激活函数为Sigmoid函数.
表 1 ARMA模型参数组合卫星号 参数组合(p，q) C20 (4，4) C23 (3，4) C28 (3，4) 本文将采用均方根误差(RMSE)来评价预报结果的准确度，计算公式为[13]
$$ \begin{array}{c}{\rm{RMSE}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\left(\hat{{x}_{i}}-{x}_{i}\right)}^{2}}.\end{array} $$ (19) 式中：
$\hat{{x}_{i}}$ 为IGS提供的卫星钟差；$ {x}_{i} $ 为模型预测值.3.2 钟差预报
为了比较模型的预报精度，本文利用GM(1,1)模型、ARMA模型和文中的组合预报模型分别对C20、C23、C28三颗卫星前12 h的卫星钟差数据进行建模，预测后6 h、12 h的卫星钟差，进行探究北斗卫星钟差短期预报中一次差分优化残差组合模型的性能的短期实验. GM(1,1)模型由于在卫星钟差一次差分前就进行了自加和自减，在进行一次差分处理后会导致精度不确定，因此本文对比试验GM(1,1)模型使用未经一次差分处理的原始钟差序列，其他模型使用经过一次差分处理后的钟差序列. 实验结果如图6~7和表2所示.
表 2 不同模型短期预报结果RMSE均值统计卫星号 预报时长/h 不同模型RMSE统计/ns GM(1,1) ARMA ELM 组合模型 C20 6 4.53 0.20 0.45 0.26 12 7.53 0.18 0.59 0.22 C23 6 0.78 0.12 0.49 0.09 12 1.52 0.24 0.70 0.16 C28 6 1.35 0.21 2.65 0.17 12 3.51 0.47 4.26 0.29 图6(a)~(c)各模型预报各卫星12 h钟差的局部结果对比，图7(a)~(c)分别为不同模型预报各卫星12 h钟差的残差的绝对值对比. 表2为不同模型预报6 h和12 h的预报结果统计，结合图表分析可知：
1)当卫星钟差原始序列呈较强的线性时，ARMA模型、ELM模型、优化残差组合模型在使用其一次差分序列后的预测精度都高于GM(1,1)模型，在预报6 h和12 h卫星钟差序列中都达到了亚纳米级；当卫星钟差原始序列呈较强的非线性时，使用一次差分序列的ELM模型预测精度就会大幅下降，预测精度甚至不如GM(1,1)模型. 而使用一次差分序列的ARMA模型和优化残差组合模型的预测能力明显优于其它两种模型，表现出了一定的优势.
2)在优化残差组合模型中，主要是ARMA模型的影响，ELM的残差预测项可看作对ARMA模型的补偿与修正，而这种补偿效应的效果跟预处理后的一次差分序列中的趋势性有关. 当卫星钟差呈线性时，其一次差分序列往往表现出比较好的趋势性，而ARMA模型对趋势性较强的序列往往有较高的预测精度，此时ELM模型残差预测结果的补偿具有一定的不确定性，以C20和C23号卫星为例，组合模型在C20上预测精度不及ARMA模型，而在C23号卫星上预测精度则高于ARMA模型. 当原始钟差序列呈非线性时，一次差分序列表现出较强的随机性，这时ELM模型的残差预测结果就能在一定程度上补偿ARMA模型，提升ARMA模型的预测精度，以C28号卫星为例，组合模型预报精度比ARMA模型的预报精度在C28上提升了38.2%，说明组合模型具有一定的效果.
3)由残差对比结果可知，使用原始卫星钟差数据的GM(1,1)模型预报精度随预报时长增加预报精度逐渐下降，稳定性最差；使用一次差分数据的ELM模型面对非线性数据时稳定性不佳；ARMA模型和组合模型稳定性明显优于其他两种模型，且组合模型在数据呈非线性时预报精度更高，适合被用于北斗卫星钟差短期预报工作中.
4. 总 结
本研究将对ARMA模型良好的趋势提取能力与构建非线性映射能力较强的ELM神经网络模型相结合，并应用于BDS-3钟差的预报之中，取得了一定的效果. 本文首先利用IQR代替传统的MAD法对北斗卫星钟差一次差分序列进行粗差探测，结果表明，相比于MAD法，IQR更适用于对北斗卫星的卫星钟差一次差分序列的粗差探测. 然后利用ARMA模型将经过预处理后的卫星钟差一次差分序列分成趋势项和残差随机项，接着利用ELM神经网络模型对残差部分进行建模预测，最后将ARMA模型的预测结果和ELM神经网络的残差预测结果求和后进行差分还原. 结果表明，当卫星钟差序列呈非线性时，ELM模型的残差预测项对ARMA模型具有一定的补偿效果，可以提升模型的预报精度. 在之后的研究中，将采用优化算法对ELM模型进行优化，并探究更多种不同模型间组合的效果.
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表 2 不同模型短期预报结果RMSE均值统计
卫星号 预报时长/h 不同模型RMSE统计/ns GM(1,1) ARMA ELM 组合模型 C20 6 4.53 0.20 0.45 0.26 12 7.53 0.18 0.59 0.22 C23 6 0.78 0.12 0.49 0.09 12 1.52 0.24 0.70 0.16 C28 6 1.35 0.21 2.65 0.17 12 3.51 0.47 4.26 0.29 
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