勒让德多项式拟合IGS精密星历的算法改进

申少飞; 雷伟伟; 李振南

doi:10.12265/j.gnss.2022049

勒让德多项式拟合IGS精密星历的算法改进

doi: 10.12265/j.gnss.2022049

河南理工大学测绘与国土信息工程学院, 河南焦作 454003

基金项目: 国家自然科学基金(41474021)

详细信息

作者简介:
申少飞：(1997—)，男，硕士，研究方向为大地测量与空间导航定位

雷伟伟：(1982—)，男，博士，副教授，研究方向为空间大地测量学与动力大地测量学

李振南：(1997—)，男，硕士，研究方向为大地测量与空间导航定位

通信作者:
雷伟伟 E-mail：geodesy@163.com

中图分类号: P228.4
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出版历程
- 收稿日期: 2022-03-28
- 录用日期: 2022-03-28
- 网络出版日期: 2022-07-28

Improvement of legendre polynomial fitting algorithm for IGS precise ephemeris

School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454003, China

摘要

摘要: 国际GNSS服务(IGS)精密星历每隔15 min提供一次卫星坐标，为了提高定位精度，往往需要获取任意时刻的卫星位置. 对IGS精密星历进行插值和拟合是获得连续历元卫星坐标常用的方法. 运用改进的勒让德多项式算法拟合卫星轨道坐标，并与常规算法进行比较，结果表明：常规算法仅在拟合阶数较低时能保持较高的精度. 在拟合时段为6 h时，LU分解 (LU Decomposition) 法与奇异值分解(SVD)法对奇异矩阵求解时均能保持较高的精度，而在拟合时段为12 h时，SVD分解法是对条件数较低的矩阵 B 进行分解求得多项式系数矩阵 C ，从而避免了病态矩阵产生的误差，因此仍能保持较高的精度. 在高阶拟合时，SVD分解法无论是在精度还是稳定性方面均优于LU分解法和常规算法，优势明显.
- 勒让德多项式拟合 /
- 卫星轨道坐标拟合 /
- LU分解(LU Decomposition)法 /
- 奇异值分解(SVD)法 /
- 病态矩阵
Abstract: The International GNSS Service (IGS) precise ephemeris provides satellite coordinates every 15 minutes. In order to improve the positioning accuracy, it is often necessary to obtain the satellite position at any time. Interpolation and fitting of IGS precise ephemeris is a common method to obtain satellite coordinates of continuous epochs. The improved Legendre polynomial algorithm is used to fit the satellite orbit coordinates, and compared with the conventional algorithm. The results show that the conventional algorithm can maintain high accuracy only when the fitting order is low. When the fitting period is 6 h, LU decomposition method and singular value decomposition (SVD) method can maintain high accuracy in solving singular matrix, while when the fitting period is 12 h, SVD decomposition method decomposes the matrix ${\boldsymbol{B}}$ with low condition number to obtain polynomial coefficient ${\boldsymbol{C}}$, so as to avoid the error caused by ill conditioned matrix, so it can still maintain high accuracy. In high-order fitting, SVD decomposition method is superior to LU decomposition method and conventional algorithm in both accuracy and stability.
- legendre polynomial fitting /
- satellite orbit coordinate fitting /
- LU decomposition method /
- singular value decomposition (SVD) method /
- ill-conditioned matrix

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图 1 点位中误差变化曲线(拟合时段3 h)

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图 2 点位中误差变化曲线(拟合时段6 h)

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图 3 X方向误差最大值变化曲线(拟合时段12 h)

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图 4 X方向中误差变化曲线(拟合时段12 h)

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图 5 点位中误差变化曲线(拟合时段12 h)

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表 1 X方向勒让德多项式拟合(拟合时段3 h) mm

阶数	常规算法		LU分解算法		SVD分解算法
阶数	差值	RMS	差值	RMS	差值	RMS
8	69.01	44.52	69.01	44.52	69.01	44.52
9	5.96	3.60	5.96	3.60	5.96	3.60
10	0.12	0.05	0.12	0.05	0.12	0.05
11	0.08	0.04	0.08	0.04	0.08	0.04

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表 2 X方向勒让德多项式拟合(拟合时段6 h) mm

阶数	常规算法		LU分解算法		SVD分解算法
阶数	差值	RMS	差值	RMS	差值	RMS
10	402.82	205.97	402.82	205.97	402.82	205.97
11	55.10	29.87	55.10	29.87	55.10	29.87
12	2.39	0.99	2.39	0.99	2.39	0.99
13	1.91	0.92	1.91	0.92	1.91	0.92
14	0.57	0.23	0.57	0.23	0.57	0.23
15	0.64	0.20	0.64	0.20	0.64	0.20
16	0.49	0.17	0.49	0.17	0.49	0.17
17	0.49	0.17	0.49	0.17	0.49	0.17
18	0.38	0.13	0.38	0.13	0.38	0.13
19	0.32	0.12	0.33	0.12	0.33	0.12
20	0.36	0.11	0.34	0.11	0.34	0.11
21	0.27	0.15	0.30	0.11	0.30	0.11
22	7.35	2.23	0.25	0.10	0.25	0.10
23	319.34	102.68	0.21	0.08	0.20	0.08

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表 3 矩阵条件数(拟合时段12 h)

阶数	条件数
阶数	B	${ {\boldsymbol{B} }^{\text{T} } }{\boldsymbol{B} }$
36	7.326 880×10⁴	5.368 310×10⁹
37	1.839 720×10⁵	3.384 580×10¹⁰
38	4.884 980×10⁵	2.386 270×10¹¹
39	1.365 840×10⁶	1.865 480×10¹²
40	4.077 910×10⁶	1.662 240×10¹³
41	1.294 570×10⁷	1.672 470×10¹⁴
42	4.455 000×10⁷	1.971 750×10¹⁵
43	1.657 111×10⁸	1.343 701×10¹⁶
44	6.855 315×10⁸	3.132 166×10¹⁶
45	3.166 856×10⁹	5.603 747×10¹⁷
46	1.717 077×10¹⁰	1.548 137×10¹⁷
47	1.136 845×10¹¹	3.959 455×10¹⁶

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