BeiDou satellite clock error prediction based on optimal weight combination method
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摘要: 针对北斗卫星钟差预报研究较少的情况，基于灰色模型与BP神经网络模型，构建一种全新的组合预测模型. 该组合钟差预测模型通过最优权方法有效结合两种单一模型的优点，实现北斗钟差的短期预报. 最后，以北斗三种型号卫星所携带的原子钟数据为例，计算出每种单一模型的权重，通过构建最优权预报模型实现了钟差的短期预报，预报结果优于两种单一模型，证明了该组合预报模型在钟差短期预测方面有效性与适用性.
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关键词:
- 北斗卫星导航系统(BDS) /
- 灰色模型 /
- 神经网络模型 /
- 最优权组合 /
- 钟差预测
Abstract: In view of the lack of research on BeiDou satellite clock error prediction, this paper constructs a new combined prediction model based on grey model and neural network model. The combined clock error prediction model effectively combines the advantages of two single models through the optimal weight method to realize the short-term prediction of Beidou clock error. Finally, Taking the atomic clock data carried by the three types of Beidou satellites as an example, the weight of each single model is calculated, and the short-term prediction of clock error is realized by constructing the optimal weight prediction model. The prediction results are better than the two single models, which proves the effectiveness and applicability of the combined prediction model in the short-term prediction of clock error. -
0. 引 言
2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第55颗北斗导航卫星，暨北斗三号(BDS-3)最后一颗全球组网卫星. 至此，我国BDS-3全球组网基本系统空间星座部署任务完成. 2020年7月31日上午，BDS-3全球卫星导航系统(GNSS)正式开通，北斗大规模应用已经开始. 北斗卫星实时精密单点定位（PPP）中需要提供高精度钟差值，但是国际GNSS服务(IGS)中心提供的精密钟差文件滞后14天，所以实时预报卫星钟差显得至关重要. 关于卫星钟差预报有很多方法，如二次多项式拟合模型、灰色理论预报模型、BP神经网络模型、小波变换模型等. 但通常单一模型很难准确地预测钟差文件，有些专家学者将各单一模型组合成新的模型，如文献[1]中将灰色理论模型与BP神经网络模型组合来实现卫星钟差的预报，通过灰色理论预测差值作为BP神经网络的输入值，将灰色预报的数值与BP神经网络预报的差值结合，作为最终预报值得到了较好的预报效果；文献[2]中提出将灰色模型与差分整合移动平均自回归(ARIMA)模型结合，利用灰色模型分离出钟差的趋势项，随后利用ARIMA模型对灰色模型预报残差建模分析，最后将二者预报的结果相加即可得到最终预报值；这些方法均得到了良好的预报效果.
本文探讨基于灰色理论模型与BP神经网络模型，通过科学定权策略确定二者的权重，实现最优权组合钟差预报，并结合北斗钟差数据计算与分析，进行应用验证，得出一些有益结论.
1. 最优权组合模型钟差预报
1.1 基于最优权组合模型的建立
组合预测模型有很多种，常见的如等权组合模型、非线性组合模型、变权组合模型等[3-6]. 基于这些研究基础和实践认识，本文建立灰色模型与BP神经网络组成的北斗卫星钟差预报最优组合模型.
北斗卫星钟差预测方法有
$n$ 种，分别是：${\hat{e}}_{1}\left(i\right), $ $ {\hat{e}}_{2}\left(i\right),{\hat{e}}_{3}\left(i\right),\cdots ,{\hat{e}}_{n}\left(i\right)$ ，$e\left( i \right)$ 为第$i$ 个历元的钟差实际数值，其中，$i = 1,2, \cdots ,m$ ，m为历元总数；${\hat e_t}\left( i \right)$ 为第$t$ 个单预测模型对第$i$ 个历元钟差预报值；${w_t}\left( i \right)$ 为第$t$ 个单项预测模型对第$i$ 个历元钟差预报的权重. 并且满足$$ \sum\limits_{i = 1}^m {{w_t}\left( i \right)} = 1,t = 1,2, \cdots ,n . $$ (1) 且
${w_t}\left( i \right) \geqslant 0$ .基于以上推导得出
$n$ 钟单模型的最优权组合模型$$ \hat e\left( i \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}\left( i \right){{\hat e}_i}\left( i \right)} . $$ (2) 式(2)中，
$\hat e\left( i \right)$ 为最优权组合模型的第$i$ 个历元钟差预报值.为获得该组合模型的最优预报结果，最优加权系数应满足下式到达最小：
$$ A = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\hat e\left( i \right) - e\left( i \right)} \right)}^2}} . $$ (3) 由
$$\begin{split} {\Delta _t} &= { \hat e\left( t \right) - e\left( t \right) = \sum {{w_i}\left( t \right)\left( {e\left( t \right) - \hat e\left( t \right)} \right) } } \\ &= {\left[ {{\Delta _{1t}},{\Delta _{2t}},{\Delta _{3t}}, \cdots, {\Delta _{nt}}} \right]\left[ {{w_1}\left( t \right),{w_2}\left( t \right), \cdots, {w_n}\left( t \right)} \right]} \end{split} . $$ (4) 可知
$$ \begin{split} \Delta _t^2 =& {\hat e\left( t \right) - e\left( t \right) = \left[ {{w_1}\left( t \right),{w_2}\left( t \right), \cdots, {w_n}\left( t \right)} \right] } \\ & {{\left[ {{\Delta _{1t}},{\Delta _{2t}},{\Delta _{3t}}, \cdots, {\Delta _{nt}}} \right]}^{\text{T}}} \bullet {\left[ {{\Delta _{1t}},{\Delta _{2t}},{\Delta _{3t}}, \cdots, {\Delta _{nt}}} \right]}\\ & {{\left[ {{w_1}\left( t \right),{w_2}\left( t \right), \cdots, {w_n}\left( t \right)} \right]}^{\text{T}}} = {\boldsymbol{W}}_t^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_t}{{\boldsymbol{W}}_t}. \end{split} $$ (5) 式(5)中，
${{\boldsymbol{W}}_t} = {\left[ {{w_1}\left( t \right),{w_2}\left( t \right), \cdots, {w_n}\left( t \right)} \right]^{\text{T}}}$ ，${\boldsymbol{B}} = [ {{\Delta _{1t}},{\Delta _{2t}}}, $ $ {\Delta _{3t}}, \cdots, {{\Delta _{nt}}} ]^{\text{T}} \bullet \left[ {{\Delta _{1t}},{\Delta _{2t}},{\Delta _{3t}}, \cdots, {\Delta _{nt}}} \right]$ .同时
$$ \left\{ \begin{gathered} \min A \hfill \\ {{\boldsymbol{R}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{W}}_t} = 1 \hfill \\ \left\| {{{\boldsymbol{W}}_t}} \right\| \geqslant 0 \hfill \\ t = 1,2, \cdots ,n \hfill \\ \end{gathered} \right. . $$ (6) 因此得式(5)的最优权的解为
$$ {{\boldsymbol{W}}_t} = \frac{{{\boldsymbol{B}}_t^{ - 1}{\boldsymbol{R}}}}{{{{\boldsymbol{R}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{B}}_t^{ - 1}{\boldsymbol{R}}}},t = 1,2, \cdots ,n . $$ (7) 式(7)中，
${\boldsymbol{R}}$ 为$N$ 维的列向量矩阵[7].2. 实验与分析
2.1 实验一
为分析最优权组合模型预报钟差的有效性与精度评定，采用武汉大学卫星导航定位技术研究中心通过多星联合解算的精密钟差数据，采样间隔为30 s，考虑到时间段内采样率过大，故从数据序列中采样间隔为5 min的钟差数据为例进行分析，选择2020年2月10日当天数据，年积日为41. 分别选择各类代表卫星，选取地球静止轨道（GEO）卫星C03，倾斜地球同步轨道（IGSO）卫星C13，中圆地球轨道（MEO）卫星C11，这3颗卫星均搭载铷原子钟，且均是服役的北斗二号（BDS-2）在轨卫星[8-9]. 分别将灰色模型（GM（1,1））、BP1神经网络模型、最优权组合预测模型分别运用在这三颗卫星钟差预报中. 其中每种模型预报时，均是采用前20个历元的卫星钟差数据建立模型求算相应的预报参数，预报后20历元的卫星钟差数据，与武汉大学北斗数据处理中心提供的精密钟差数据作比较，以此来分析每种预报模型的有效性.
为定量比较每种预报模型的优劣，本文采用均方根误差(RMSE)作为衡量指标，其计算公式为
$$ {\rm{RMSE}}{\text{ = }}\sqrt {\frac{{\displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n} {{{\left( {\Delta {a_i}} \right)}^2}} }}{{{n}}}} ,\Delta {a_i} = {a_i} - {\hat a_i} . $$ (8) 式中：
${a_i}$ 是由IGS/MGEX（Multi-GNSS Experiment）中心提供的钟差值；${\hat a_i}$ 是各模型预报值[10].1) 由表1可知，三种卫星的神经网络预报模型权系数均高于GM（1,1）模型，BP1神经网络模型是一种优良的单模型预报钟差方法；不同种类的北斗卫星具有不同的权重系数.
表 1 各卫星组合模型的权重系数表
单模型
PRNGM（1,1）权重系数 BP1权重系数 C03 0.4492 0.5508 C11 0.4906 0.5094 C13 0.3881 0.6119 2) 由图1~4、表2可知，灰色理论模型预报的钟差模型呈线性，灰色理论模型预报前期预报精度较神经网络模型预报精度好，但随着预报时间的延长，预报精度降低. 预报后期精度均较BP神经网络模型差. BP神经网络模型预报精度前期不如灰色理论模型，但随着预报时间的延长，预报精度高于灰色理论模型. 并且预报趋势与钟差真值吻合较好. BP神经网络是一种优秀的非线性预报模型.
3) 最优权组合预报模型结合了灰理论模型与BP神经网络模型的优点，不论在预报前期或者预报后期均能得到满意的预报效果，该组合模型预报值与钟差真值吻合较好. 由表2可知，三种北斗卫星的最优权组合预报精度均优于单一模型.
4) 表2中，MEO卫星预报精度最好，IGSO预报精度次之，GEO预报精度最差. 这三种卫星均搭载铷原子钟，预报精度的不同受到卫星轨道误差的影响.
表 2 三种模型预报精度统计对比表星号 预报模型 绝对值最大值 平均值 RMSE C03 GM（1,1） 1.80 −1.56 1.43 BP1 1.39 1.17 1.20 最优权组合 1.08 0.97 0.88 C11 GM（1,1） −0.44 −0.36 0.30 BP1 0.39 0.27 0.26 最优权组合 0.33 0.24 0.23 C13 GM（1,1） 1.69 1.09 1.01 BP1 1.17 0.85 0.83 最优权组合 1.02 0.73 0.68 2.2 实验二
由于受到观测条件的限制，为验证最优权组合模型对BDS-3的钟差预报精度情况. 本文在撰写时BDS-3部分卫星并未投入使用，选取BDS-3 MEO C20、IGSO C31两颗具有代表性的卫星. 预报方案如同实验一，采用两种单一模型与最优权组合预测模型作比较，精度统计采用实验一的均方根误差.
1) 在获取数据时，部分BDS-3卫星并未启用. 选择MEO与IGSO各代表卫星. 由表3可知，在最优权组合模型中，BP神经网络的权重系数大于灰色理论模型，又一次证明了BP神经网络模型作为单一模型预测的准确性. 由图5~6可知，灰色模型，BP神经网络模型，最优权组合模型在BDS-3钟差预报中，预测效果如BDS-2卫星.
表 3 权重系数单一模型PRN GM（1,1）权重系数 BP1权重系数 C20 0.489 6 0.510 4 C31 0.400 7 0.599 3 2) 由表2、表4中可以看出，不管是最优权组合模型还是单一模型，相同类别的BDS-3卫星钟差预测精度要高于BDS-2卫星钟差预测精度，表明了BDS-3卫星所搭载的原子钟更加稳定.
表 4 三种模型预报精度统计表星号 预报模型 绝对值最大值 平均值 RMSE C20 GM（1,1） 0.80 −0.66 0.593 BP1 0.59 0.47 0.410 最优权组合 0.48 0.31 0.230 C31 GM（1,1） −1.44 −0.96 0.810 BP1 0.89 0.74 0.710 最优权组合 0.70 0.52 0.470 结合实验一与实验二，最优权组合预测思想是综合BP神经网络与灰色理论预测模型，吸取各单一模型的预测长处与预测不确定性难点以达到取长补短的目的. 利用较好的单一预测模型对较差单一预测模型的修正，在充分顾及单一预测模型优势与不足的同时，达到对预测结果有效的融合. 最优权组合预测钟差方法是对卫星钟差预报的一个大胆尝试，这为组合预测思想应用提供实践探索.
3. 结束语
基于组合预测思想，利用最优权组合方法将BP神经网络与灰理论两种模型科学合理结合. 并通过两组实验，包括BDS-2与BDS-3卫星钟差数据，充分证明了最优权组合预测思想的适用性与可行性；同时间接证明了BDS-3所携带的原子钟较BDS-2原子钟更加稳定. 组合预测的思想不仅局限于本文提及的两种单一模型，很多优秀的单一模型都可以通过组合预测的方法来提高钟差预测的精度，这也是本文下一步工作重点.
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表 2 三种模型预报精度统计对比表
星号 预报模型 绝对值最大值 平均值 RMSE C03 GM（1,1） 1.80 −1.56 1.43 BP1 1.39 1.17 1.20 最优权组合 1.08 0.97 0.88 C11 GM（1,1） −0.44 −0.36 0.30 BP1 0.39 0.27 0.26 最优权组合 0.33 0.24 0.23 C13 GM（1,1） 1.69 1.09 1.01 BP1 1.17 0.85 0.83 最优权组合 1.02 0.73 0.68 
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表 4 三种模型预报精度统计表
星号 预报模型 绝对值最大值 平均值 RMSE C20 GM（1,1） 0.80 −0.66 0.593 BP1 0.59 0.47 0.410 最优权组合 0.48 0.31 0.230 C31 GM（1,1） −1.44 −0.96 0.810 BP1 0.89 0.74 0.710 最优权组合 0.70 0.52 0.470
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